反比例（y＝a/x）とそのグラフ

反比例y=a/xの意味とグラフ（双曲線）を図でわかりやすく。xが増えるとyが減る関係、xy=a（一定）、式の求め方が身につきます。

◎このページのゴール

反比例の式y=a/xとグラフ（双曲線）を理解し、式を求められるようになる。

比例は「増えれば増える」でしたが、反比例は「一方が増えると、もう一方は減る」関係。式は $y=\dfrac{a}{x}$ 。グラフは直線ではなく、なめらかな曲線（双曲線）になります。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

反比例ってどんな関係？ → ここを見る
xy が一定とは → ここを見る
グラフの形（双曲線） → ここを見る
式の求め方 → ここを見る

反比例とは

$y$ が $x$ に反比例するとは、 $x$ が2倍・3倍になると $y$ が $\dfrac12$ 倍・ $\dfrac13$ 倍になる関係。式で $y=\dfrac{a}{x}$ と書きます。

x	1	2	3	6
y	6	3	2	1

$x$ が増えると $y$ が減っていますね。

xy が一定

反比例では、 $x\times y$ がいつも同じ値 $a$ になります。上の表ではどの組も $x\times y=6$ 。だから $a=6$ 、式は $y=\dfrac{6}{x}$ 。

グラフは双曲線

反比例 $y=\dfrac{a}{x}$ のグラフは、なめらかな2本の曲線（双曲線）です。軸に限りなく近づきますが、けっして交わりません。

セナ

線が2本に分かれてるのが不思議。

ホクト先生

$x$ が正のときと負のときで、グラフが別々の曲線になるんだ。たとえば $x=2$ なら $y=3$ 、 $x=-2$ なら $y=-3$ 。原点をはさんで2本に分かれるんだよ。

✓理解チェック①

式の求め方

「反比例で、 $x=\bigcirc$ のとき $y=\triangle$ 」とわかれば、 $a=xy$ で比例定数が出て、式 $y=\dfrac{a}{x}$ が決まります。

例： $x=3$ で $y=4$ → $a=3\times4=12$ → $y=\dfrac{12}{x}$ 。 $x=6$ なら $y=\dfrac{12}{6}=2$ 。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：比例定数と式を求める）

$y$ は $x$ に反比例し、 $x=2$ のとき $y=9$ 。比例定数 $a$ は？
その式を書きましょう。

答えと解説を見る

$a=x\times y=2\times9=18$ → $a=18$ （確かめ： $18\div2=9$ ◎）
$y=\dfrac{18}{x}$

✏️ やってみよう②（標準：値の代入とグラフ）

$y=\dfrac{8}{x}$ で $x=4$ のとき $y$ は？
反比例のグラフを何といいますか。

答えと解説を見る

$y=8\div4=2$ → $y=2$ （確かめ： $4\times2=8$ で $xy$ が比例定数8と一致 ◎）
双曲線

✏️ やってみよう③（応用：身近な反比例の文章題）

ある仕事を12人ですると6時間かかります。人数を $x$ 人、かかる時間を $y$ 時間とすると、(ア) 比例定数 $a$ 、(イ) 式、(ウ) 8人でするとかかる時間を求めましょう（全員が同じ速さで働くとします）。
かみ合う2つの歯車があります。歯車Aは歯数20で1分間に15回転します。歯車Bの歯数を $x$ 、1分間の回転数を $y$ とすると $xy$ は一定です。Bの歯数が25のとき、Bは1分間に何回転しますか。

答えと解説を見る

(ア) $a=x\times y=12\times6=72$ → $a=72$ （確かめ： $72\div12=6$ ◎）／(イ) $y=\dfrac{72}{x}$ ／(ウ) $y=72\div8=9$ → 9時間（確かめ： $8\times9=72$ ◎。人数が増えると時間は減る）
Aから $xy=20\times15=300$ （一定）。Bは $25\times y=300$ より $y=300\div25=12$ → 12回転（確かめ： $25\times12=300$ ◎。歯数が多いほど回転数は少ない）

💡これ、社会のどこで役立つの？

反比例は「全体の量が決まっていて、一方を増やすともう一方が減る」関係。分け合う・かみ合う場面でよく出てきます。

人数と作業時間：仕事の総量が同じなら、人数を増やすほど1人あたりの時間は短くなる。 $x\times y$ （人数×時間）が仕事量で一定。スケジュールや人員配置の見積もりに使う。
歯車・自転車のギア：かみ合う歯車は（歯数）×（回転数）が一定。小さい歯車ほど速く回る。自転車で軽いギアにすると速く漕げる代わりに進む距離が短いのも同じ仕組み。
一定の面積での縦と横：花だんやテーブルの面積を決めると、縦を長くすれば横は短くなる。 $\text{縦}\times\text{横}=$ 面積で一定。レイアウトや材料取りの計算に役立つ。

「決まった量を分け合うと、一方が増えれば他方が減る」という見方は、物理（てこ・圧力）や仕事の段取りなど、大人になってもいろいろな場面で使います。

家おうちの方へ

比例は「 $y\div x$ が一定」、反比例は「 $x\times y$ が一定」——この対比で覚えると混同しません。反比例のグラフ（双曲線）が2本に分かれるのは、xの正負でyの正負も変わるためです。式は「1点から $a=xy$ 」を使えば求まります。比例・反比例の区別は、表で何が一定か（割るか掛けるか）を見るのがコツです。

これで中1「比例と反比例」は完全攻略です！比例→一次関数→y=ax² と、関数の学習はここからつながっていきます。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

反比例： $y=\dfrac{a}{x}$ 。 $x$ が2倍3倍になると $y$ は $\dfrac12$ 倍 $\dfrac13$ 倍。
$a$ ＝比例定数＝ $x\times y$ （いつも一定）。
グラフは双曲線（2本の曲線。軸に近づくが交わらない）。
式は1点 $(x,y)$ から $a=xy$ で求まる。

よくある質問

反比例とはどんな関係ですか？式はどう書きますか？

xが2倍・3倍になると、yが2分の1倍・3分の1倍になる関係が反比例で、式はy＝x分のa（a/x）と書きます。反比例ではx×yがいつも同じ値（比例定数a）になり、グラフは双曲線という2本のなめらかな曲線になります。

反比例の式は、どうやって求めるの？

対応する1組のxとyの値がわかれば、a＝x×yで比例定数を求めて式が決まります。たとえばx＝3のときy＝4なら、a＝3×4＝12で、式はy＝x分の12（12/x）です。この式でx＝6のときの値は、12÷6＝2と求められます。

なぜ反比例のグラフ（双曲線）は、2本に分かれるの？

xが正のときと負のときで、グラフが別々の曲線になるからです。たとえばy＝x分の6（6/x）では、x＝2ならy＝3、x＝−2ならy＝−3のように、xの符号に合わせてyの符号も変わるので、原点をはさんで2本に分かれます。曲線は軸に限りなく近づきますが、けっして交わりません。

比例と反比例は、どう見分ければいいの？

表で「何が一定になっているか」を見ます。y÷xがいつも同じ値なら比例（y＝ax）、x×yがいつも同じ値なら反比例です。反比例は、仕事の人数と時間のように「全体の量が決まっていて、一方が増えるともう一方が減る」関係のときに出てきます。

#反比例#双曲線#中1数学