多角形の内角・外角の和
多角形の内角の和・外角の和を図でわかりやすく。三角形に分けて内角の和180×(n−2)を導き、外角の和がいつも360°になることが納得できます。
◎このページのゴール
多角形の内角の和・外角の和を求められるようになる。
三角形の内角の和は180°。では五角形や六角形は？ 実は三角形に分けるだけで、どんな多角形の内角の和も求められます。外角の和にいたっては、いつでも360°です。
どこでつまずいた？
あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。
三角形の内角の和は180°
どんな三角形でも、3つの角をたすと 180°。これがすべての出発点です。
多角形の内角の和
→やり方
n角形の内角の和 ＝ 180°×(n−2)
- 四角形：
- 五角形：
- 六角形：
なぜ 180×(n−2)？（三角形に分ける）
1つの頂点から対角線を引くと、n角形は (n−2)個の三角形に分かれます。三角形1つが180°だから、内角の和は 。
なんで (n−2) なの？
1つの頂点から対角線を引くと、自分と両どなりの3頂点には引けないから、できる三角形は頂点の数より2つ少ない＝(n−2)個になるんだ。五角形なら3つ、六角形なら4つだね。
✓理解チェック①
外角の和は、いつも360°
多角形の外角（各頂点で辺を延ばしてできる外側の角）の和は、何角形でも **360°**で一定です。
✓コツ
正n角形なら：
・1つの外角 ＝
・1つの内角 ＝ （1つの外角）
例）正六角形の1つの外角は 、内角は 。
✓理解チェック②
やってみよう（練習問題）
✏️ やってみよう①（基本：内角の和を求める）
公式 にあてはめましょう。
- 六角形の内角の和は？
- 十角形（）の内角の和は？
答えと解説を見る
- （確かめ：三角形4つ分 ◎）
- （確かめ：三角形8つ分 ◎）
✏️ やってみよう②（標準：正多角形の外角・内角）
外角の和は を使います。
- 正八角形の1つの外角は？
- 正八角形の1つの内角は？
答えと解説を見る
- （確かめ：外角の和 ◎）
- （確かめ：内角の和 。公式でも ◎）
✏️ やってみよう③（応用：何角形かを逆算する）
内角の和や1つの内角から、もとの多角形を求めます。
- 内角の和が の多角形は、何角形？
- 1つの内角が の正多角形は、正何角形？
答えと解説を見る
- → → 。七角形（確かめ： ◎）
- 1つの外角は 。外角の和は なので 。正十二角形（確かめ：1つの内角 ◎）
家おうちの方へ
内角の和は「三角形に分ける（n−2個）」で必ず導けます。公式を忘れても図で作り直せるのが強みです。外角の和が常に360°という事実は意外性があり、正多角形の角を求めるときに重宝します。「外角＝360÷n」「内角＝180−外角」をセットで覚えさせてください。
最後は、図形の証明の主役三角形の合同条件です。
📌 1分まとめ（声に出して読もう）
- 三角形の内角の和は 180°。
- n角形の内角の和 ＝ 180°×(n−2)（1つの頂点から三角形に分ける）。
- 多角形の外角の和は、いつも 360°。
- 正多角形なら、1つの内角・外角も求められる。
よくある質問
多角形の内角の和を求める公式は何ですか？
n角形の内角の和＝180°×(n−2) です。四角形は 180°×2＝360°、五角形は 180°×3＝540°、六角形は 180°×4＝720°になります。出発点は「どんな三角形でも内角の和は180°」という決まりです。
なぜ内角の和は180°×(n−2)になるの？
1つの頂点から対角線を引くと、n角形が (n−2)個の三角形に分かれるからです。自分と両どなりの3つの頂点には対角線が引けないので、できる三角形は頂点の数より2つ少なくなります。三角形1つの内角の和が180°なので、五角形なら三角形3つ分で 180°×3＝540°です。
多角形の外角の和はいくつですか？
何角形でも、外角の和はいつも360°で一定です。正n角形なら、1つの外角＝360°÷n、1つの内角＝180°−（1つの外角）で求められます。たとえば正六角形は、1つの外角が 360°÷6＝60°、1つの内角が 180°−60°＝120°です。
1つの内角から正何角形かを求めるには？
先に1つの外角を 180°−（1つの内角）で求め、外角の和360°をその外角でわります。たとえば1つの内角が150°なら、外角は 180°−150°＝30°。360°÷30°＝12 なので正十二角形です。外角の和がいつも360°であることを使うのがコツです。