円周角の定理（中心角と円周角）
中3「円」の重要定理、円周角の定理を円の図でやさしく解説。中心角と円周角の違い、円周角は中心角の半分になること、同じ弧に対する円周角はすべて等しいことを、半径を1本引いてできる二等辺三角形の図で理由から納得しながら、角度が求められるようになります。
円周角の定理は次の つです。
- つの弧に対する円周角は中心角の半分
- 同じ弧に対する円周角はすべて等しい
◎このページのゴール
円周角の定理（中心角の半分・同じ弧は等しい）を理解し、角度を求められるようになる。
円の中の角度問題は、ルールを知らないと手が出ません。でも本質は2つだけ。「円周角は中心角の半分」「同じ弧の円周角は等しい」。図で見ればすぐ使えるようになります。
どこでつまずいた？
あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。
用語：中心角と円周角
弧ABに対して、
- 中心角：中心 O を頂点とする角 ∠AOB
- 円周角：円周上の点 P を頂点とする角 ∠APB
✓理解チェック1
円周角の定理
→やり方
- 1つの弧に対する円周角は、中心角の半分
（中心角 ＝ 円周角 × 2） - 同じ弧に対する円周角は、すべて等しい
例：弧ABの中心角が なら、円周角は 。
でも、なんで「半分」なの？ そこがいちばん不思議なんだけど。
いいところを聞くね。じつは半径を1本ひくだけで理由が見えるんだ。
使うのは中2で習った2つだけ。「二等辺三角形の底角は等しい」と「三角形の外角は、となりにない2つの内角の和」だよ。
なぜ「半分」になるの？（半径を1本ひくだけ）
と中心 を通る直線をひいて、円と交わる点を とします。
これで図が2つの二等辺三角形に分かれます。
、、 はどれも円の半径だから、長さが同じです。
だから三角形 と三角形 は、どちらも二等辺三角形になります。
?どうして？
左の三角形 ： の二等辺三角形なので、底角が等しく 。
三角形の外角は、となりにない2つの内角の和だから、。
右の三角形 ：同じように で、。
合わせると、中心角 。
円周角 。
だから中心角は円周角のちょうど2倍、つまり円周角は中心角の半分です。
半分になる正体は、半径が全部同じ長さという円のいちばん基本の性質でした。
✓理解チェック2
「半分」って覚えるだけだと思ってたけど、二等辺三角形が2つ隠れてたんだね。
そう。そしてここから定理②もすぐ出るよ。
弧ABに対する中心角は1つに決まっているよね。円周角はいつでもその半分なんだから、Pが円周上のどこにあっても同じ大きさになるしかない。
だから「同じ弧を見る円周角はすべて等しい」——これが定理②の理由だよ。
✓理解チェック3
同じ弧の円周角は等しい
同じ弧ABを見ている円周角は、頂点 P がどこにあっても等しくなります。だから、片方の角がわかれば、もう片方もすぐわかります。
✓コツ
問題では「同じ弧を見ている角」を探すのがコツ。等しい角がいくつも見つかり、芋づる式に角度が求まります。
✓理解チェック4
逆向きにも使える
「円周角 → 中心角」は2倍。円周角が なら中心角は 。行き来できるようにしておきましょう。
✓理解チェック5
✓理解チェック6
やってみよう（練習問題）
やってみよう①（基本：中心角と円周角を行き来する）
中心角は円周角の2倍、円周角は中心角の半分です。
- 中心角が のときの円周角は？
- 円周角が のときの中心角は？
答えと解説を見る
- 円周角は中心角の半分 → （確かめ： ◎）
- 中心角は円周角の2倍 → （確かめ： ◎）
やってみよう②（標準：同じ弧の円周角・大きい中心角）
「同じ弧の円周角は等しい」も使います。中心角は を超えることもあります。
- 同じ弧に対する2つの円周角がある。一方が のとき、もう一方は？
- 中心角が のときの、その弧に対する円周角は？
答えと解説を見る
- 同じ弧の円周角は等しいので （頂点 P をどこに動かしても同じ大きさ）
- 円周角は中心角の半分 → （確かめ： ◎）
やってみよう③（応用：弧をつないで角度を出す）
弧を分けて考え、中心角どうしをたしてから半分にします。
- 円周上に点 A, B, C がこの順にある。弧ABの中心角は 、弧BCの中心角は 。弧ABC（AからBを通ってCまで）に対する、反対側の円周上の点 D を頂点とする円周角 ∠ADC は何度？
答えと解説を見る
- 弧ABCの中心角は、。円周角はその半分なので、。答え 80°（確かめ：弧の中心角 の半分が 、 ◎）
家おうちの方へ
円周角は「中心角の半分」「同じ弧なら等しい」の2つを図で押さえれば、ほとんどの角度問題が解けます。とくに「同じ弧を見ている角は等しい」は、図の中で等しい角を見つける宝探しのように使います。中心角と円周角を取り違えないよう、頂点が中心Oか円周上Pかを毎回確認させてください。
次は、この定理を使った代表問題。とくに「直径に対する円周角は90°」は超頻出です。
📌 1分まとめ（声に出して読もう）
- 1つの弧に対する円周角は、中心角の半分（中心角＝円周角の2倍）。
- 同じ弧に対する円周角は、すべて等しい。
- 中心角は中心O、円周角は円周上の点が頂点。
- この2つで円の中の角度の大半が解ける。
よくある質問
円周角とは何ですか？
円周角とは、円周上の点を頂点として、弧の両はしに引いた2つの線がつくる角のことです。弧ABに対して、円周上の点Pを頂点とする角APBが円周角です。これに対して、円の中心Oを頂点とする角AOBは「中心角」といいます。
円周角の定理とは何ですか？
円周角の定理とは、「1つの弧に対する円周角は中心角の半分になる」「同じ弧に対する円周角はすべて等しい」という2つのルールのことです。たとえば弧ABの中心角が100°なら、円周角は 100÷2＝50°です。円の中の角度問題の大半は、この2つで解けます。
中心角と円周角のちがいは何ですか？
頂点の位置がちがいます。中心角は円の中心Oを頂点とする角で、円周角は円周上の点Pを頂点とする角です。同じ弧に対して、円周角は中心角の半分（中心角は円周角の2倍）の大きさになります。
円周角の定理は、どんな場面で使われていますか？
「同じ弧を見る角は、どこから見ても同じ大きさ」という性質は、円形劇場やアリーナの設計に生きています。客席を円周に沿って並べると、どの席からも舞台を見込む角度が等しくなるからです。ほかにも、建築のアーチやドーム、カメラの画角を考えるときの基礎になっています。
なぜ同じ弧に対する円周角は、どこから見ても等しくなるの？
1つの弧に対して中心角は1つに決まっていて、円周角はいつでもその半分になるからです。だから頂点Pが円周上のどこにあっても、円周角は同じ大きさにしかなりません。この性質を使うと、図の中で等しい角が次々に見つかり、芋づる式に角度が求められます。
なぜ円周角は中心角のちょうど半分になるの？
円周角の頂点Pと中心Oを通る直線をひくと、図が2つの二等辺三角形に分かれるからです。OA・OB・OPはどれも半径なので長さが同じで、三角形OAPと三角形OBPはどちらも二等辺三角形になります。二等辺三角形の底角は等しいので角OAPと角OPAをともにxとおくと、三角形の外角はとなりにない2つの内角の和だから角AOQは2xになります。同じように反対側もyと2yになり、中心角は2x＋2y、円周角はx＋yなので、中心角は円周角のちょうど2倍です。つまり半分になる正体は「半径はどこも同じ長さ」という円の基本の性質です。
この単元でつまずいたとき、家庭でできること
- 三角形の角・二等辺三角形（中2）に戻るつまずきの原因は、たいてい1つ前の単元にあります。まずそこを確かめてください。
- 説明役を、外部にまかせる教える側が説明しきれないときは、無料体験のある外部のサービスで様子を見る方法もあります。