円周角の定理の利用（半円・角度計算）
円周角の定理を使った角度の求め方を図でやさしく解説。直径に対する円周角は必ず90°になること、円に内接する四角形は向かい合う角の和が180°になることを図で確認し、同じ弧の円周角が等しい性質と組み合わせて角度を求める入試頻出パターンが身につきます。
よく使う性質は次の つです。
- 直径（半円の弧）に対する円周角は （中心角 の半分）
- 円に内接する四角形は向かい合う角の和が
◎このページのゴール
直径に対する円周角90°や内接四角形の性質を使って、円の中の角度を求められるようになる。
円周角の定理を使う代表パターンを身につけましょう。とくに「直径に対する円周角は90°」は入試の超頻出。直径や中心が見えたら、まずこれを疑います。
どこでつまずいた？
あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。
直径に対する円周角は 90°
直径ABを弦とする弧（半円）に対する円周角は、必ず 90°。理由は、直径の中心角が （一直線）で、円周角はその半分だから 。
直径が見えたら90°！ 覚えやすいね。
そう。直径に対する円周角は直角。これを使うと、円の中に直角三角形が現れて、三平方の定理ともつながるんだ。
✓理解チェック1
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答え：
直径に対する円周角は必ず90°（中心角180°の半分）です。
✓理解チェック2
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答え：直径に対する中心角が で、円周角はその半分だから
直径（半円の弧）に対する中心角は一直線の 。円周角はいつも中心角の半分なので、 です。
角度を求める（実戦）
例：直径ABに対する円周角 ∠APB＝90°。△APB で ∠PAB＝35° なら、
直角がわかれば、三角形の内角の和180°で残りの角が求まります。
✓理解チェック3
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答え：
直径に対する円周角なので ∠APB＝90°。三角形の内角の和より です。
円に内接する四角形
4つの頂点がすべて円周上にある四角形では、向かい合う角（対角）の和が 180° になります。
例：∠A＝110° なら、向かいの ∠C＝。
✓理解チェック4
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答え：
内接四角形は対角の和が180°。 です。
✓理解チェック5
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答え：向かい合う角の和が になる
円に内接する四角形では、対角（向かい合う角）の和が になります。4つの角ぜんぶの和は、四角形なので です。
注目ポイント
✓コツ
- 直径・中心が見えたら → 直径に対する円周角90°、中心角＝円周角×2
- 同じ弧を見ている角 → 等しい
- 円に内接する四角形 → 対角の和180°
この3つを手がかりに、わかる角から芋づる式に求めていきます。
✓理解チェック6
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答え：直径に対する円周角は （中心角＝円周角×2）
直径・中心が見えたら「直径に対する円周角は90°」「中心角＝円周角×2」をまず疑うのが定石です。円周角は中心角の半分（2倍ではない）ことにも注意しましょう。
やってみよう（練習問題）
やってみよう①（基本：直径＝90°）
「直径に対する円周角は 90°」をそのまま使います。
- 直径に対する円周角は何度？
- 中心角が のとき、その弧（半円）に対する円周角は？
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- 90°（直径の中心角 の半分）
- （＝直径に対する円周角と同じ。確かめ： ◎）
やってみよう②（標準：90°・内接四角形を使う）
直角がわかれば三角形の内角の和 で、内接四角形なら対角の和 で求めます。
- 直径ABに対する円周角 ∠APB＝90°、∠PAB＝28°。∠PBA は？
- 円に内接する四角形で ∠A＝80°。向かい合う ∠C は？
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- △APB の内角の和より （確かめ： ◎）
- 対角の和は → （確かめ： ◎）
やってみよう③（応用：直径と内接四角形を組み合わせる）
複数のルールを順に使います。図に直径や内接四角形が見えたら、わかる角から芋づる式に。
- 円に内接する四角形ABCDで、∠A＝75°、∠B＝100°。∠C と ∠D をそれぞれ求めなさい。
- BDが円の直径で、点 C も円周上にある。△BCD で ∠DBC＝35° のとき、∠BCD と ∠BDC をそれぞれ求めなさい。
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- 対角の和は 。∠C は ∠A の向かい → 。∠D は ∠B の向かい → 。∠C＝105°・∠D＝80°（確かめ：、 ◎）
- BDが直径なので、それに対する円周角 ∠BCD＝90°。△BCD の内角の和より 。∠BCD＝90°・∠BDC＝55°（確かめ： ◎）
家おうちの方へ
「直径に対する円周角は90°」は、図に直径や中心が出たらまず疑う最重要パターンです。直角が見つかれば三角形の内角の和や三平方の定理につながります。内接四角形の「対角の和180°」とあわせ、図の中の“等しい角・直角”を探す習慣をつけると、円の問題が得点源になります。
これで中3「円（円周角の定理）」は完全攻略です！ 円・相似・三平方は組み合わせて出題されることが多いので、図形分野をまとめて武器にしましょう。
📌 1分まとめ（声に出して読もう）
- 直径（半円の弧）に対する円周角は 90°（中心角180°の半分）。
- 円に内接する四角形は、向かい合う角の和が 180°。
- 「同じ弧の円周角は等しい」と組み合わせて角度を求める。
- 直径や中心が出たら、まず90°・中心角を疑う。
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よくある質問
直径に対する円周角は何度ですか？
必ず90度（直角）です。ABが円の直径のとき、円周上のどこに点Pをとっても、角APBは90度になります。図の中に直径や円の中心が見えたら、まず90度を疑うのが円の角度問題の定石です。
なぜ直径に対する円周角は90度になるの？
直径に対する中心角が180度（一直線）で、円周角はいつも中心角の半分になるからです。180度÷2＝90度なので、直径（半円の弧）に対する円周角は必ず90度になります。
円に内接する四角形には、どんな角の性質がありますか？
4つの頂点がすべて円周上にある四角形では、向かい合う角（対角）の和が180度になります。たとえば角Aが110度なら、向かいの角Cは 180度−110度＝70度 です。
円の角度の問題は、どこに注目して解けばいいですか？
注目ポイントは3つです。①直径・中心が見えたら「直径に対する円周角は90度」「中心角＝円周角×2」、②同じ弧を見ている円周角どうしは等しい、③円に内接する四角形は対角の和が180度。この3つを手がかりに、わかる角から順に求めていきます。
この単元でつまずいたとき、家庭でできること
- 円周角の定理（中心角と円周角）に戻るつまずきの原因は、たいてい1つ前の単元にあります。まずそこを確かめてください。
- 説明役を、外部にまかせる教える側が説明しきれないときは、無料体験のある外部のサービスで様子を見る方法もあります。