中3「円（円周角の定理）」をやさしく攻略
円の中にできる角の問題は、たった2つのルールでほとんど解けます。「円周角は中心角の半分」「同じ弧の円周角は等しい」。図で見れば、角度がスラスラ求められるようになります。
◎この単元のゴール
円周角の定理を理解し、円の中の角度を求められるようになる。
学ぶ順番（このとおり進めばOK）
つまずき診断：どこで止まっていますか
円周角のつまずきは、定理の暗記より図の中から「同じ弧を見ている角」を見つけられるかに集まります。
- 中心角と円周角のどちらが2倍か混乱する → 大きいのは中心角。「中心のほうがえらいから大きい」でも、理由（半径の二等辺三角形2つ）でも、どちらでも固定を。円周角の定理では、なぜ半分になるかの証明も図で載せています。
- 同じ弧に対する円周角を図から見つけられない → 角から弧へ「どの弧を見ているか」を色でなぞるのがコツ。同じ色の弧を見る角はすべて等しい。
- 半円（直径）の円周角が90°になる理由が言えない → 直径の中心角は180°。円周角はその半分で90°です。「直径を見たら直角」は入試最頻出。定理の利用へ。
- 円の問題で二等辺三角形に気づけない → 円の中の半径2本は必ず二等辺三角形を作ります。「半径＝等しい辺」は円の角度問題の隠し道具です。
- 相似と組み合わさると手が止まる → 円周角で等しい角を2組見つければ相似が言えます。「円周角→2組の角→相似」は入試の黄金パターン。
円周角は、中2図形と相似をつなぐ結び目
三角形の外角の性質は、円周角の定理の証明で主役になります。
前提 二等辺三角形 →半径2本＝二等辺三角形。底角が等しい性質を円の中で使います。
中3 相似 →円周角で角を集めて相似を言う、入試頻出の合わせ技へ。
戻る 小5 正多角形と円 →中心角・弧のことばはここから。円の基礎が不安なら。
よくある質問
円周角の定理は、結局なにを覚えればいい？
2つだけです。①同じ弧に対する円周角は中心角の半分。②同じ弧に対する円周角はどこから見ても等しい。この2つに、よく使う帰結として「直径（半円）の円周角は90°」を加えた3点セットで、円の角度問題のほとんどが動きます。なぜ半分になるのかの理由も、半径の二等辺三角形で説明できます（レッスンで図解しています）。
「直径を見たら直角」は、どう使うの？
図の中に直径があったら、その両端と円周上の点を結ぶ三角形は必ず直角三角形になります。直角が1つ確定すると、残りの角の計算、三平方の定理、相似の証明への道が一気に開けます。逆向きの使い方（円周角が90°なら、その弦は直径）もあり、作図や証明で活躍します。図に直径を見つけたら、まず直角をマークする習慣をつけましょう。
円周角の問題で、補助線はどこに引けばいい？
候補は実質2つです。①中心と円周上の点を結ぶ（半径を引く）——二等辺三角形が生まれ、中心角と結べます。②円周上の2点を結ぶ（弦を引く）——新しい円周角の組が生まれます。やみくもに引かず、「求めたい角はどの弧を見ているか」を先に確認してから、その弧に関係する線を選ぶのが迷わないコツです。
☺おうちの方へ
円周角は高校入試の図形問題の定番で、相似・三平方との合わせ技として出題されます。単体の角度計算ができていれば、あとは組み合わせの経験量の勝負です。
つまずいているときは、問題の図に「同じ弧を見ている角」を色ペンでマークする方法を教えてあげてください。色分けするだけで、等しい角の組が浮かび上がり、正答率が変わります。