二等辺三角形の性質

二等辺三角形とは、2つの辺の長さが等しい三角形のこと。中2数学で習う「底角は等しい」「頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する」という2つの性質を、補助線と合同な三角形の図でやさしく解説し、角度の計算や証明の書き方まで身につきます。二等辺三角形の性質を理解し、性質を使った角度の計算や簡単な証明ができるようになる。

先に答え

二等辺三角形とは、2つの辺の長さが等しい三角形のことです。等しい2辺の間の角を頂角、その向かいの辺を底辺、底辺の両はしの角を底角といい、2つの底角は等しく、頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分します。たとえば頂角が $40^{\circ}$ なら、底角は $(180-40)\div2=70^{\circ}$ です。

◎このページのゴール

二等辺三角形の性質を理解し、性質を使った角度の計算や簡単な証明ができるようになる。

二等辺三角形は、証明問題の常連。「2辺が等しい」というだけで、底角が等しいなどの便利な性質が次々使えます。図でしっかりつかみましょう。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

二等辺三角形の各部の名前 → ここを見る
底角が等しいとは（図で） → ここを見る
頂角の二等分線の性質 → ここを見る
逆の定理（角が等しい→二等辺） → ここを見る

各部の名前

二等辺三角形は 2辺が等しい三角形。等しい2辺の間の角を頂角、その向かいの辺を底辺、底辺の両はしの角を底角といいます。

✓理解チェック1

性質①：底角は等しい

二等辺三角形の2つの底角は等しいです。これがいちばんよく使う性質。

例：頂角が $40°$ なら、底角は $(180-40)\div2=70°$ （残り140°を2等分）。

セナ

なんで底角が等しいって言えるの？見た目が対称だから、じゃダメなの？

ホクト先生

「見た目」は理由にならないんだ。でも安心して。

補助線を1本ひくだけで、ちゃんと証明できるよ。頂角Aの二等分線をひいてみよう。

?どうして？

仮定 $AB=AC$ ／結論 $\angle B=\angle C$

補助線 頂角 $A$ の二等分線をひき、 $BC$ との交点を $D$ とする。

$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ において、

$AB=AC$ （仮定）……①

$\angle BAD=\angle CAD$ （ $AD$ は $\angle A$ の二等分線）……②

$AD=AD$ （共通）……③

①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので

\triangle ABD \equiv \triangle ACD

合同な図形の対応する角は等しいので、 $\angle B=\angle C$ 。

ポイントは、「左右対称に見える」を「合同な三角形が2つある」に言いかえたところです。

見た目の対称性は証明になりませんが、補助線で2つの三角形に分けてしまえば、合同条件という確かな根拠が使えます。

✓理解チェック2

✓理解チェック3

「底角は等しい」の証明で、頂角の二等分線ADをひいてできる △ABD と △ACD が合同といえる合同条件は？（クイズの表示にはJavaScriptが必要です）

性質②：頂角の二等分線

頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分します（底辺の中点を通り、底辺と直角に交わる）。1本の線が「二等分線・垂直二等分線・中線」を兼ねます。

これも、さっき示した $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ からそのまま出てきます。

合同な図形の対応する辺は等しいので $BD=CD$ → $D$ は底辺の中点。
合同な図形の対応する角は等しいので $\angle ADB=\angle ADC$ 。この2つは一直線 $BC$ 上でならんでいて和が $180°$ なので、 $180\div2=90°$ → $AD \perp BC$ 。

つまり「1本の補助線が3役を兼ねる」理由は、たった1つの合同なのです。

証明の形に書く練習は、やってみよう③でやってみましょう。

✓理解チェック4

逆：2角が等しい → 二等辺三角形

性質①の逆も成り立ちます。2つの角が等しい三角形は二等辺三角形（等しい角に向かい合う2辺が等しい）。角度の条件から「二等辺だ」と判断できます。

✓理解チェック5

✓理解チェック6

やってみよう（練習問題）

やってみよう①（基本：底角・頂角の角度）

「底角の和＝180−頂角、それを2等分」を使いましょう。

頂角が $80°$ の二等辺三角形の底角は？
底角が $50°$ の二等辺三角形の頂角は？

答えと解説を見る

$(180-80)\div2=50°$ （確かめ： $80+50+50=180°$ ◎）
$180-50\times2=80°$ （確かめ： $80+50+50=180°$ ◎）

やってみよう②（標準：性質と逆を言葉で説明）

性質と、その逆を自分の言葉で確認しましょう。

頂角の二等分線は、底辺をどうする？
$\angle B = \angle C$ の三角形ABCは、どんな三角形？理由も。

答えと解説を見る

垂直に2等分する（底辺の中点を通り、底辺と直角に交わる）
二等辺三角形（ $AB=AC$ ）。理由：2つの角が等しい三角形は、等しい角に向かい合う2辺が等しいから（性質①の逆）

やってみよう③（応用：性質②を証明する）

本文では性質①（底角が等しい）を証明しました。

こんどは性質②——「頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する」——を、同じ合同から証明します。

二等辺三角形 ABC（ $AB=AC$ ）で、頂角Aの二等分線と底辺BCの交点をDとします。すでに $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ が示されているものとして、空らん（ア）〜（エ）をうめましょう。

(1) $BD=CD$ （Dは中点）の証明

$\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ で、合同な図形の（ア）は等しいので $BD=CD$ 。

(2) $AD \perp BC$ （垂直）の証明

$\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ で、合同な図形の（イ）は等しいので $\angle ADB=\angle ADC$ ……①
点 B、D、C は一直線上にあるから $\angle ADB + \angle ADC =$ （ウ） $°$ ……②
①②より $\angle ADB = \angle ADC =$ （エ） $°$
よって $AD \perp BC$

答えと解説を見る

（ア）対応する辺（合同なら対応する辺の長さは等しい）
（イ）対応する角（合同なら対応する角の大きさは等しい）
（ウ） $180$ （一直線の角は $180°$ ）
（エ） $90$ （ $180\div2=90$ ）

考え方のポイント：性質②は新しく証明し直したのではなく、性質①で作ったたった1つの合同 $\triangle ABD \equiv \triangle ACD$ を、辺の側から読むか角の側から読むかのちがいだけです。

対応する辺を読む → $BD=CD$ → 中点（2等分）
対応する角を読む → $\angle ADB=\angle ADC=90°$ → 垂直

だから「1本の補助線が二等分線・垂直二等分線・中線の3役を兼ねる」のです。合同が1つ手に入ると、そこから複数の結論を引き出せる——これが証明の強さです。

💡これ、社会のどこで役立つの？

「2辺が等しければ、左右がぴったり対称」という二等辺三角形の性質は、形の対称性が大事なものづくりで生きています。

建築・屋根の設計：三角屋根は左右の傾きをそろえると、雪や雨が均等に流れ、力も左右にバランスよくかかります。左右対称の安定感は二等辺三角形そのものです。
デザイン・ロゴ：左右対称のマークや矢印は、二等辺三角形を基準にすると整って見えます。対称だからこそ「きちんと感」が出ます。
測量・ナビ：2地点から同じ距離の地点を探す（中点・垂直二等分線）考え方は、頂角の二等分線が底辺を垂直に2等分する性質と同じ仕組みです。

「等しい2辺 → 対称な形・等しい角」という見方は、中3の相似や三平方の定理にもつながり、ものの形を正しく扱う力になります。

家おうちの方へ

二等辺三角形は「2辺が等しい → 底角が等しい」、その逆「2角が等しい → 2辺が等しい」をセットで押さえるのが要です。角度計算では「底角の和＝180−頂角、それを2等分」を使います。性質②（頂角の二等分線＝垂直二等分線）は証明問題の強力な道具になります。

次は四角形の代表、平行四辺形。性質となる条件を、図で整理します。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

二等辺三角形＝2辺が等しい三角形。
性質①：底角（そこかく）は等しい。
性質②：頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する。
逆：2つの角が等しい三角形は二等辺三角形。

よくある質問

二等辺三角形の性質は何ですか？

①2つの底角は等しい、②頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する、の2つです。二等辺三角形とは2辺が等しい三角形のことで、等しい2辺の間の角を頂角、その向かいの辺を底辺、底辺の両はしの角を底角といいます。

なぜ二等辺三角形の底角は等しいの？

頂角の二等分線を引くと2つの三角形ができ、「2組の辺とその間の角」の合同条件で合同になるからです。合同な図形の対応する角は等しいので、底角どうしも等しいと証明できます。

頂角がわかっているとき、底角はどうやって求めるの？

底角＝（180−頂角）÷2 で求めます。たとえば頂角が40°なら、（180−40）÷2＝70°。三角形の内角の和180°から頂角を引いた残りを、等しい2つの底角で分ける、と考えます。

2つの角が等しい三角形は、二等辺三角形といえるの？

はい、いえます。「底角が等しい」という性質の逆も成り立ち、2つの角が等しい三角形は、等しい角に向かい合う2辺が等しい二等辺三角形です。角度の条件から「二等辺三角形だ」と判断するときに使えます。

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#二等辺三角形#底角#証明#中2数学