平行四辺形の性質と条件

平行四辺形の定義・性質（対辺が等しい・対角が等しい・対角線が中点で交わる）と、平行四辺形になる条件を図でわかりやすく解説します。

◎このページのゴール

平行四辺形の性質となる条件を理解し、辺の長さ・角度を求めたり判断したりできるようになる。

平行四辺形は「2組の対辺が平行」というだけで、辺・角・対角線について便利な性質が3つも使えます。図で性質を整理し、「平行四辺形になる条件」まで押さえましょう。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

平行四辺形の定義は？ → ここを見る
性質を図で確認したい → ここを見る
性質を使った計算 → ここを見る
平行四辺形になる条件 → ここを見る

定義

2組の対辺（向かい合う辺）がそれぞれ平行な四角形を、平行四辺形といいます。

3つの性質

→やり方

2組の対辺が、それぞれ等しい（AB＝DC、AD＝BC）
2組の対角が、それぞれ等しい（∠A＝∠C、∠B＝∠D）
対角線が、それぞれの中点で交わる（AM＝CM、BM＝DM）

セナ

性質が3つもあると、どれを使うか迷いそう。

ホクト先生

問われているものに合わせて選べばいいよ。辺の長さなら①、角度なら②、対角線なら③。どれも“2組の三角形が合同になる”ことから証明できるんだ。

性質を使った計算

例：平行四辺形で ∠A＝70° なら、対角の ∠C も $70°$ 。となり合う角 ∠B は $180-70=110°$ （となり合う角の和は180°）、∠D も $110°$ 。

✓理解チェック①

平行四辺形になる条件

四角形が次のどれか1つを満たせば、平行四辺形といえます。

✓コツ

2組の対辺がそれぞれ平行（定義）
2組の対辺がそれぞれ等しい
2組の対角がそれぞれ等しい
対角線がそれぞれの中点で交わる
1組の対辺が平行で、かつ長さが等しい

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：性質を答える）

3つの性質を思い出して答えましょう。

平行四辺形の対角はどんな関係？
平行四辺形の対角線について成り立つことは？

答えと解説を見る

それぞれ等しい（ $\angle A = \angle C$ 、 $\angle B = \angle D$ ）
それぞれの中点で交わる（たがいに2等分する）

✏️ やってみよう②（標準：角度の計算・条件の判断）

「対角は等しい・となり合う角の和は180°」を使いましょう。

平行四辺形で $\angle A = 65°$ のとき、 $\angle B$ は？
「1組の対辺が平行で、長さも等しい」四角形は何といえる？

答えと解説を見る

となり合う角の和は180° → $180-65=115°$ （確かめ： $\angle A + \angle B = 65+115 = 180°$ ◎）
平行四辺形（なる条件の5つ目にあてはまる）

✏️ やってみよう③（応用：穴うめ証明）

平行四辺形ABCDで「対角線がそれぞれの中点で交わる」ことを証明します。対角線ACとBDの交点をOとし、 $\triangle ABO \equiv \triangle CDO$ を示します。空らん（ア）〜（エ）をうめましょう。

△ABO と △CDO において
$AB=CD$ （（ア））……①
$\angle ABO = \angle CDO$ （（イ））……②
$\angle BAO = \angle DCO$ （錯角）……③
①②③より、（ウ）がそれぞれ等しいので
$\triangle ABO \equiv \triangle CDO$
よって対応する辺が等しく $AO=CO$ 、 $BO=$ （エ）

答えと解説を見る

（ア）平行四辺形の対辺は等しいから（性質①）
（イ）錯角（ $AB \parallel DC$ なので、対角線BDを横切る錯角が等しい）
（ウ）1組の辺とその両はしの角（①が辺、②③がその両はしの角）
（エ） $DO$ （対応する辺どうしが等しい）

確かめ：対応は A↔C、B↔D、O↔O。①辺・②③その両はしの角で、合同条件「1組の辺とその両はしの角」に正しく当てはまり、 $AO=CO$ ・ $BO=DO$ 、つまり「対角線がそれぞれの中点で交わる」が導けています。

💡これ、社会のどこで役立つの？

平行四辺形は「向かい合う辺が平行のまま動く」性質があり、形を保ったまま動かしたい仕組みで活躍しています。

折りたたみ式の柵・パンタグラフ：伸縮ゲートや電車の集電装置（パンタグラフ）は、平行四辺形が変形しても辺が平行のままなので、まっすぐ伸び縮みできます。
機械・ロボットのアーム：平行四辺形のリンクを使うと、先端の角度を一定に保ったまま動かせます。製図台やデスクライトのアームも同じ仕組みです。
建築・デザインの製図：対辺が平行・対角が等しいという性質は、傾いた格子模様やタイル、構造の設計図を正確に描くときの土台になります。

「平行を保つ」「対角線が中点で交わる」という性質は、機械・建築・CG（コンピュータグラフィックス）の図形処理など、ものを正確に動かし描く場面につながっていきます。

家おうちの方へ

平行四辺形は「定義（2組の対辺が平行）」と「3つの性質」「なる条件5つ」を整理して覚えるのが要です。性質はすべて三角形の合同から導けるので、証明問題では合同条件とセットで使います。角度計算では「対角は等しい・となり合う角の和は180°」が即戦力です。

これで中2「図形の証明」は完全攻略です！証明の型・合同・二等辺三角形・平行四辺形は、中3の相似・円の証明にもそのままつながります。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

定義：2組の対辺がそれぞれ平行な四角形。
性質：①2組の対辺が等しい ②2組の対角が等しい ③対角線がそれぞれの中点で交わる。
「平行四辺形になる条件」は5つ。どれか1つで平行四辺形といえる。
性質も証明も、三角形の合同が土台。

よくある質問

平行四辺形の性質は何ですか？

①2組の対辺がそれぞれ等しい、②2組の対角がそれぞれ等しい、③対角線がそれぞれの中点で交わる、の3つです。定義は「2組の対辺がそれぞれ平行な四角形」。辺の長さを求めるなら①、角度なら②、対角線なら③と、問われているものに合わせて使い分けます。

平行四辺形になる条件は何ですか？

5つあり、どれか1つを満たせば平行四辺形といえます。①2組の対辺がそれぞれ平行（定義）、②2組の対辺がそれぞれ等しい、③2組の対角がそれぞれ等しい、④対角線がそれぞれの中点で交わる、⑤1組の対辺が平行で、かつ長さが等しい、です。

なぜ平行四辺形の性質は成り立つの？

どの性質も、対角線を引いてできる2組の三角形が合同になることから証明できるからです。たとえば対角線の交点をOとすると、対辺が等しいことと平行線の錯角から三角形ABOと三角形CDOが合同になり、AO＝CO、BO＝DO、つまり「対角線がそれぞれの中点で交わる」が導けます。

平行四辺形で1つの角がわかったら、ほかの角はどう求めるの？

「対角は等しい」「となり合う角の和は180°」の2つを使います。たとえば ∠A＝70° なら、対角の ∠C も70°、となり合う ∠B は 180−70＝110°、∠D も110°です。

#平行四辺形#図形の性質#中2数学