対偶：ひっくり返して否定すると、真偽はそのまま
命題「PならばQ（P→Q）」に対して、前と後ろを入れかえて両方否定した「QでないならPでない（¬Q→¬P）」が対偶です。元と対偶は必ず同時に正しい／同時に間違いになります。
→命題問題の解き方（3ステップ）
① 各命題を P→Q の矢印に記号化する
② すべての命題の対偶も書き出す（矢印が倍になる）
③ 矢印をしりとりのようにつなぐ（三段論法）→ つながった両端が「確実にいえること」
セナ
「逆」も成り立ちそうな気がしちゃいます……。
ホクト先生
そこが最大のワナだよ。「鳥ならば動物」は正しいけど、逆の「動物ならば鳥」は正しくない（犬も動物だよね）。元が正しくても、逆と裏は正しいとは限らない。確実に使えるのは対偶だけ、と覚えよう。
三段論法：矢印をつないで結論を出す
例題：「英語が好きな人は数学も好き」「数学が好きな人は理科も好き」。確実にいえるのは？
→ 英語→数学、数学→理科 をつなぐと 英語→理科。「英語が好きな人は理科も好き」が確実にいえます。直接つながらないときは、各命題の対偶を書き足すと鎖がつながることが多いです。
ド・モルガンの法則：否定で「かつ・または」が入れかわる
条件に「かつ」「または」が含まれると、否定のときに反転します。
| もとの文 | 否定（〜でない） |
|---|---|
| P かつ Q | ¬P または ¬Q |
| P または Q | ¬P かつ ¬Q |
| 全員が合格 | 少なくとも1人は不合格 |
「AかつBが好き」の対偶を作るときなどに必須です。否定すると「かつ⇄または」が入れかわると覚えておきましょう。
✕公務員試験で狙われる定番ミス
❌ 元が正しいから「逆」も正しいと判断する（逆・裏は元と無関係）
❌ 「AかつB」の否定を「¬Aかつ¬B」にしてしまう（正しくは「¬Aまたは¬B」）
❌ 対偶を作るとき、入れかえだけ・否定だけで止める（入れかえ＋両方否定の両方が必要）
例題（手順で解いてみよう）
- 「ピアノを習う子は音楽が好き」の対偶は？（答え：音楽が好きでない子はピアノを習っていない）
- 「走るのが速い人は背が高い」「背が高い人はよく食べる」。確実にいえるのは？（答え：走るのが速い人はよく食べる）
- 「サッカーかつ野球が好き」な人の否定は？（答え：サッカーが好きでない、または野球が好きでない）