場合の数の文章題｜並べ方と組み合わせの見分け方

場合の数の文章題を、並べ方か組み合わせかの見分け方からやさしく解説。「順番に意味があるか」で判断するコツ、もれなく数える工夫、いろいろな文章題まで図と例題でしっかりわかります。

場合の数の文章題で、いちばん大事なのは計算ではありません。「これは並べ方？ それとも組み合わせ？」を見分けることです。ここさえ間違えなければ、あとは樹形図や表で数えるだけ。見分けるコツを身につけて、いろいろな問題を解けるようにしましょう。

まず「順番に意味があるか」で見分ける

並べ方と組み合わせは、たった1つの問いで見分けられます。

入れかえたら、別のものになる？（＝順番に意味がある？）

たとえば「1位と2位」は、入れかえたら順位が変わる＝別もの＝並べ方。一方「2人を選ぶ」は、入れかえても同じ2人＝組み合わせです。

文章題の式の立て方

見分けたら、次の手順で数えます。

例題： 5人の中から、リレーの第1走者と第2走者を決める方法は何通り？

走る順（第1・第2）に意味がある＝並べ方。第1走者が5通り、第2走者は残り4通り。

$5\times4=20\ \text{（通り）}$

例題： 5人の中から、代表を2人選ぶ方法は何通り？

選ぶだけで順番なし＝組み合わせ。並べ方なら $5\times4=20$ 通りだが、同じ2人の組が2回ずつなので、

$5\times4\div2=10\ \text{（通り）}$

同じ「5人から2人」でも、順番があるかないかで答えが2倍ちがうのがポイントです。

もれと重なりをなくす工夫

数えまちがいの正体は、**落ち（数えもれ）と重なり（二重数え）**です。これを防ぐコツは1つ。

順序を決めて、左から（または小さい順・アルファベット順に）書き出す。

たとえば組み合わせを書くときは「Aを含む組（AB, AC, AD）→ 次にBから新しい組（BC, BD）→ Cから（CD）」と、一度使った先頭にはもう戻らないようにします。こうすれば、同じ組を2回書くことも、書きわすれることもありません。

いろいろな文章題に挑戦

場合の数は、お金・道順・試合など、いろいろな形で出ます。共通するのは「見分けて、もれなく数える」こと。

例題（お金）： 10円・50円・100円のこう貨が1枚ずつある。この中から2枚を選んでできる金額は何通り？

「2枚を選ぶ」＝組み合わせ。$3\times2\div2=3$ 通り。書き出すと、10+50=60円、10+100=110円、50+100=150円 の 3通りです。

いっしょに解こう

セナ

「5人から2人」って、並べ方の $20$ なのか、組み合わせの $10$ なのか、毎回まよっちゃう…

ホクト先生

魔法の質問をしよう。「その2人を入れかえたら、別のことになる？」。リレーの第1走者と第2走者なら、入れかえたら順番が変わる＝別もの＝並べ方で $20$。ただ代表に選ぶだけなら、入れかえても同じ2人＝組み合わせで $10$ だよ。

セナ

なるほど！ 「入れかえたら別もの？」で決めればいいんだね。

ホクト先生

そう。そして最後はかならず書き出して確かめる。計算と書き出しが合っていれば安心だよ。

やってみよう（練習問題）

これで小6「並べ方と組み合わせ方（場合の数）」はすべて完了です。よくがんばりました。中学では、この数え方を使って「確率」を学んでいきます。