並べ方（順列）の数え方｜樹形図でもれなく数える
「A・B・Cをならべる並び方は何通り？」を樹形図でやさしく解説。1番目・2番目・3番目と順序を決めて枝分かれさせ、落ちや重なりなく数える方法から3×2×1のかけ算になる仕組みまで図で確認し、数字カードで整数を作るとき先頭に0が使えない注意点もわかります。
並べ方（順列）の数え方は、1番目→2番目→…と順序を決めて樹形図をかき、いちばん右まで行った枝の数を数えるのが基本です。 人を1列にならべると 通り、 人なら 通りと、選べる数が1つずつ減るかけ算になります。数字カードで整数を作るときは、いちばん上の位に0が使えないので、0・1・2の3枚で2けたを作ると 通りです。
◎このページのゴール
樹形図を使って、並べ方（順番が関係ある場合の数）を、落ちや重なりなく数えられるようになる。
「A・B・C の3人が1列にならぶ並び方は、何通り？」——答えは 通りです。場合の数は、特別な公式を暗記する単元ではありません。順序よく、もれなく書き出すこと。その最強の道具が**樹形図（じゅけいず）**です。図でいっしょに攻略しましょう。
どこでつまずいた？
あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。
「並べ方」は順番に意味がある
まず大事な区別から。場合の数には2つの仲間があります。
- 並べ方…ならぶ順番に意味がある。「A→B→C」と「B→A→C」はちがう並び方。
- 組み合わせ…選ぶだけで順番は関係ない（次のレッスンで学びます）。
このレッスンは並べ方。たとえば「3人がかけっこで1位・2位・3位になる順」「3けたの整数を作る」など、順番がちがえば別ものとして数える場面です。
✓コツ
「並べる」「順番」「1位・2位」「○けたの数」という言葉が出てきたら、並べ方だと思ってください。数えるときは、行き当たりばったりではなく「1番目はA、2番目は…」と順序を決めていくのがコツです。
✓理解チェック1
樹形図でもれなく数える
樹形図は、木の枝のように場合を枝分かれさせて、すべてを書き出す図です。A・B・C の3人の並び方をかいてみましょう。
→やり方
- 1番目に来る人で枝を分ける（A／B／C の3本）。
- それぞれの枝から、2番目に来られる人で枝を分ける（残り2人）。
- さらに3番目（残り1人）。いちばん右まで行った枝の数を数える。
いちばん右まで行った枝は 6本。だから並び方は 6通りです。樹形図なら、数えもれも二重数えもなく、すべてを見える形にできます。
✓理解チェック2
なぜ になるの？
樹形図をよく見ると、かけ算で数えられることが分かります。
1番目を選ぶと3通り。そのそれぞれについて2番目が2通り、さらにそれぞれについて3番目が1通り。だから 。「○通りが、それぞれ△通りに分かれる」ときは、かけ算でまとめて数えられるのです。ただし、慣れるまでは樹形図で確かめるのがいちばん安全です。
iメモ
4人をならべるなら 通り。1番目に4人のだれか、2番目は残り3人、3番目は残り2人、4番目は残り1人。1つずつ減っていくのがポイントです。
✓理解チェック3
数字カードで整数を作る（0に注意）
並べ方の問題でよく出るのが「数字カードで整数を作る」タイプ。ここには落とし穴があります。
例題： 、、 の3枚のカードで、2けたの整数は何通り作れる？
ふつうに ……としたいところですが、十の位に は使えません（ は2けたの整数ではなく、ただの ）。だから十の位は か の2通りだけ。一の位は残り2枚から選んで2通り。
できる整数は の 4通り。「先頭の位に は来られない」を忘れると、 通りと数えまちがえます。
✓理解チェック4
✓理解チェック5
いっしょに解こう
A・B・C の並び方、たし算で じゃダメなの？ どうしてかけ算なの？
いい質問。樹形図を見てごらん。1番目が A のときだけで、もう2通り（ABC と ACB）あるよね。B のときも2通り、C のときも2通り。「3つのグループに、それぞれ2通りずつ」だから 。グループの数×1グループの中身でかけ算になるんだ。
なるほど！ じゃあ数字カードのときに を引いて数が減るのは？
十の位に を置くと「」みたいに2けたの整数にならないからだよ。だから十の位だけ を使えない。問題のルール（先頭に0はダメ、など）を樹形図にちゃんと反映させるのが大事だね。
✕よくある間違い
つまずきやすい2つを先回りします。
❌ 並び方を「」とたし算する → 枝が枝分かれするので ⭕ （かけ算）。
❌ 数字カード で2けた → 通り → 先頭に0は使えない。⭕ 通り。
✓理解チェック6
やってみよう（練習問題）
やってみよう①（基本：樹形図で数える）
樹形図をかいて、もれなく数えましょう。
- 1・2・3 の3枚のカードを1列にならべる並べ方は何通り？
- 4人（A・B・C・D）が1列にならぶ並び方は何通り？
答えと解説を見る
- 通り（123, 132, 213, 231, 312, 321）
- 通り（1番目4通り→2番目3通り→3番目2通り→4番目1通り）
やってみよう②（標準：1位・2位を決める）
「全員はならべず、一部の順番だけ」を決める問題です。
- 4人の中から、リレーの第1走者と第2走者を決める方法は何通り？
- 5人の中から、班長と副班長を1人ずつ決める方法は何通り？
答えと解説を見る
- 第1走者が4通り、第2走者は残り3通り → 通り
- 班長が5通り、副班長は残り4通り → 通り（班長と副班長は役がちがうので、順番に意味がある＝並べ方）
やってみよう③（応用：数字カードと0）
先頭の位に が使えないことに注意しましょう。
- ・・・ の4枚で、2けたの整数は何通り作れる？
- ・・ の3枚で、3けたの整数は何通り作れる？
答えと解説を見る
- 十の位は 以外の3通り、一の位は残り3枚から3通り → 通り
- がないので先頭の制限なし。 通り（123, 132, 213, 231, 312, 321）
家おうちの方へ
この単元は公式暗記ではなく「順序よく、もれなく書き出す」習慣づくりが本質です。最初は遅くても、樹形図を全部かかせてください。 のようなかけ算は、樹形図の構造（枝が枝分かれする＝かけ算になる）を理解してからで十分です。数字カードの問題で「先頭の位に0は置けない」を見落とす子が多いので、問題のルールを樹形図に反映できているか、いっしょに確認してあげると効果的です。
並べ方（順番が関係ある数え方）ができるようになりました。次は「選ぶだけ」の組み合わせ方へ進みましょう。
📌 1分まとめ（声に出して読もう）
- 並べ方は順番に意味がある数え方（ABとBAは別もの）。
- 樹形図をかけば、もれなく・重なりなく数えられる。
- 1番目→2番目→…と順序を決めて枝分かれさせる。
- 人をならべる並び方は 通り。
- 数字カードで整数を作るときは、いちばん上の位に0は使えないことに注意。
よくある質問
並べ方は何通りあるか、どうやって数えますか？
1番目→2番目→…と順序を決めて樹形図をかき、いちばん右まで行った枝の数を数えます。3人を1列にならべるなら 3×2×1＝6通り、4人なら 4×3×2×1＝24通りです。選べる数が1つずつ減っていくのがポイントです。
なぜ並べ方は 3×2×1 のかけ算で求められるの？
樹形図をかくと、1番目が3通り、そのそれぞれについて2番目が残り2通り、さらにそれぞれについて3番目が残り1通りに枝分かれするからです。「○通りが、それぞれ△通りに分かれる」ときは、かけ算でまとめて数えられます。3＋2＋1のたし算にしないよう注意しましょう。
数字カードで整数を作る問題では、何に注意すればいい？
いちばん上の位に0が使えないことです。たとえば0・1・2の3枚で2けたの整数を作るとき、02は2けたの整数ではないので、十の位は1か2の2通りだけ。一の位は残り2枚から2通りで、2×2＝4通りになります。3×2＝6通りと数えないよう注意しましょう。
かけ算で出せるなら、樹形図は毎回かかなくてもいいですか？
慣れればかけ算でも数えられますが、小学校のうちは樹形図で確かめるのが安全です。頭の中の計算だけだと、「先頭の位に0は使えない」などの問題のルールを見落としがちだからです。計算で出した答えと、樹形図の枝の数が合うかを確かめる習慣をつけましょう。
この単元でつまずいたとき、家庭でできること
- 場合の数の地図に戻るに戻るつまずきの原因は、たいてい1つ前の単元にあります。まずそこを確かめてください。
- 説明役を、外部にまかせる教える側が説明しきれないときは、無料体験のある外部のサービスで様子を見る方法もあります。