立体の体積と表面積（角柱・円柱・角錐・円錐・球）

中1「空間図形」の計量を図でやさしく解説。角柱・円柱は底面積×高さ、角錐・円錐は柱の3分の1になる理由を実験のイメージ図で示し、表面積は展開図で側面積と底面積に分けて考える方法、球の体積・表面積の公式まで、公式の意味から求められるようになります。

体積と表面積は、公式を丸暗記すると混乱します。でも「柱は底面積×高さ」「錐はその $\frac{1}{3}$」「表面積は展開図で考える」という意味をつかめば、すっきり整理できます。図で一つずつ攻略しましょう。

柱の体積 ＝ 底面積 × 高さ

角柱も円柱も、体積の求め方は同じ。底面積に高さをかけるだけです。

底面（同じ形の面）が高さの分だけ積み重なっている、とイメージすると納得できます。たとえば半径 $3$、高さ $5$ の円柱は、$V=\pi\times 3^2\times 5 = 45\pi$。

錐の体積 ＝ 柱の 1/3

角錐・円錐の体積は、同じ底面・同じ高さの柱の $\dfrac{1}{3}$ になります。

半径 $3$、高さ $5$ の円錐なら、$V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 3^2\times 5 = \dfrac{1}{3}\times 45\pi = 15\pi$。同じ大きさの円柱（$45\pi$）の $\frac{1}{3}$ です。

セナ

なんで錐だけ $\frac{1}{3}$ なの？　忘れそう…

ホクト先生

「同じ底面・同じ高さの柱に、錐が3杯ちょうど入る」とイメージしよう。水を入れて試す実験が有名だね。とがっている分、柱より小さくなるのは自然。柱の公式に $\frac{1}{3}$ をつけるだけ、と覚えれば混乱しないよ。

表面積は「展開図」で考える

表面積 ＝ まわりの面の面積をぜんぶ合わせたもの。立体を開いた展開図で考えると、ミスが減ります。

円柱の側面を開くと、たて＝高さ $h$、よこ＝底面の円周 $2\pi r$ の長方形。だから側面積は $2\pi r\times h=2\pi rh$。これに底面 $\pi r^2$ を2つ足して、円柱の表面積は $2\pi rh + 2\pi r^2$ です。

円錐の側面積と、球の公式

円錐の側面は、開くと「おうぎ形」になります。その面積は、母線 $\ell$（頂点から底面のふちまで）と底面の半径 $r$ を使って——

球は、展開できないので公式を覚えます。半径 $r$ のとき——

たとえば半径 $3$ の球なら、体積 $=\dfrac{4}{3}\pi\times 3^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 27=36\pi$、表面積 $=4\pi\times 3^2=36\pi$。

やってみよう（練習問題）

これで空間図形の計量が攻略できました。柱・錐・球の体積と表面積を、公式の意味からとらえる力は、この先の数学（高校の積分など）でも大きな武器になります。