おうぎ形（弧の長さと面積）｜中心角の割合で求める

中1のおうぎ形を、図でやさしく解説。円周と円の面積の復習から、中心角の割合（a/360）を使った弧の長さと面積の求め方まで、πを使った計算を図と例題でしっかりわかります。

おうぎ形は、ピザやケーキを切り分けたときの「1切れ」の形。円の一部です。むずかしそうに見えますが、**「円全体の何分のいくつか（中心角の割合）」**さえつかめば、弧の長さも面積も、円の公式に割合をかけるだけ。図で攻略しましょう。

まず円の公式を復習（πを使う）

中学からは、円周率を $\pi$（パイ） という文字で表します（小学校の $3.14$ の代わり）。半径を $r$ とすると、

• 円周 $=$ 直径 $\times\pi=2\pi r$
• 円の面積 $=\pi r^2$

おうぎ形と中心角

おうぎ形は、円を2本の半径で切り取った形。その2本の半径がつくる角を中心角といいます。

おうぎ形は「円全体の一部」。中心角が $a°$ なら、円全体（$360°$）のうち $\dfrac{a}{360}$ ぶんです。たとえば中心角 $90°$ なら $\dfrac{90}{360}=\dfrac{1}{4}$ で、円の4分の1。

弧の長さの求め方

弧（おうぎ形の曲がった辺）は、円周の $\dfrac{a}{360}$ ぶん。だから、

$\text{弧の長さ}=2\pi r\times\frac{a}{360}$

例題： 半径 $6$ cm、中心角 $120°$ のおうぎ形の弧の長さは？

$2\pi\times6\times\frac{120}{360}=12\pi\times\frac13=4\pi\ \text{(cm)}$

おうぎ形の面積の求め方

面積も同じ考え方。円の面積の $\dfrac{a}{360}$ ぶんです。

$\text{おうぎ形の面積}=\pi r^2\times\frac{a}{360}$

例題： 半径 $6$ cm、中心角 $120°$ のおうぎ形の面積は？

$\pi\times6^2\times\frac{120}{360}=36\pi\times\frac13=12\pi\ \text{(cm}^2)$

いっしょに解こう

セナ

弧の長さの公式と面積の公式、$2\pi r$ と $\pi r^2$ がごちゃごちゃになる…

ホクト先生

もとの円の公式さえ覚えていればOK。弧は「円周」の仲間（長さ）だから $2\pi r$ に $\dfrac{a}{360}$。面積は「円の面積」の仲間だから $\pi r^2$ に $\dfrac{a}{360}$。どっちも「円のものに $\dfrac{a}{360}$ をかける」だけだよ。

セナ

なるほど！ $\dfrac{a}{360}$ は共通なんだね。

ホクト先生

そう。だから手順は「①中心角は円の何分のいくつ？（$\dfrac{a}{360}$ を約分）→ ②円周 or 円の面積にかける」の2ステップ。先に約分しておくと計算がぐっと楽になるよ。

やってみよう（練習問題）

これで中1「平面図形」はすべて完了です。図形の移動・基本の作図・おうぎ形が、合同や相似など、この先の図形分野の土台になります。