円の2つの公式と、使い分けの図
円で覚える式は2つだけです。ただし片方は直径、もう片方は半径を使うので、そこだけ取りちがえないようにします。
→円の問題（3ステップ）
① 半径か直径かを確かめる（問題文が「直径10cm」なら半径は5cm）
② 求めたいものが円周なら直径、面積なら半径を式に入れる
③ 答えの単位をつける（長さは cm、面積は cm²）
円周率（3.14とπ）とは何か
円周率とは、円周が直径の何倍かを表す数です。どんな大きさの円でも、円周 ÷ 直径 は必ず同じ値になります。それが 3.14159… という終わりのない数で、小学校ではこれを 3.14 と区切って使います。
中学以降は区切らずに π（パイ） という文字で書きます。3.14で計算すると誤差が出ますが、πのまま残せば答えは正確です。だから中学では「円周＝10π cm」のように、πを残した形が正解になります。
| 小学校 | 中学以降 | |
|---|---|---|
| 円周率 | 3.14 | π |
| 半径5cmの円周 | 31.4 cm | 10π cm |
| 半径5cmの面積 | 78.5 cm² | 25π cm² |
✕ありがちな間違い
面積を「直径 × 直径 × 3.14」としてしまうのが最多のミスです。面積は必ず半径。直径で計算すると答えがちょうど4倍になるので、「やけに大きい」と思ったらここを疑ってください。
もう1つ多いのが単位で、面積なのに cm と書いてしまうパターン。面積は cm²（平方センチメートル）です。
また「直径10cm」の問題で、半径に直さず 10 をそのまま面積の式に入れてしまう取りちがえにも注意します。
おうぎ形は「円の一部」
おうぎ形は円を切り取ったピザのような形です。考え方はシンプルで、中心角 ÷ 360 が「円全体のうちどれだけか」の割合になります。あとは円の答えにその割合をかけるだけです。
| 求めるもの | 式 | 例（半径6cm・中心角60度） |
|---|---|---|
| 割合 | 中心角 ÷ 360 | 60 ÷ 360 ＝ 1/6 |
| 弧の長さ | 円周 × 中心角 ÷ 360 | 37.68 × 1/6 ＝ 6.28 cm |
| 面積 | 円の面積 × 中心角 ÷ 360 | 113.04 × 1/6 ＝ 18.84 cm² |
| 中心角 | 弧の長さ ÷ 円周 × 360 | 6.28 ÷ 37.68 × 360 ＝ 60 度 |
検算に便利なのが おうぎ形の面積 ＝ 弧の長さ × 半径 ÷ 2 という式です。上の例なら 6.28 × 6 ÷ 2 ＝ 18.84cm² で一致します。中心角を使わずに出せるので、答え合わせに使えます。
暮らしの中の円
自転車のタイヤが1回転で進む距離は、タイヤの円周そのものです。26インチ（直径約66cm）なら、1回転で約207cm＝2m進みます。ピザのMサイズとLサイズで「直径が1.2倍なら面積は1.44倍」と分かるのも円の面積の式のおかげです。直径が2倍になると、まわりは2倍でも面積は4倍——この差が実感できると、公式の意味がつかめます。
例題（計算機で検算してみよう）
- 直径8cmの円の円周は？（答え：25.12cm）
- 半径7cmの円の面積は？（答え：153.86cm²）
- 円周が18.84cmの円の半径は？（答え：3cm）
- 半径10cm・中心角90度のおうぎ形の弧の長さと面積は？（答え：15.7cm、78.5cm²）
- 半径4cmの円の円周と面積を、πを使って表すと？（答え：8π cm、16π cm²）