一次関数の式の求め方

一次関数y=ax+bの式の求め方を図でわかりやすく。傾きと1点から、2点から、グラフから、の3パターンを手順で整理。条件から式を出せるようになります。

◎このページのゴール

傾きと点・2点・グラフなどの条件から、一次関数の式y=ax+bを求められるようになる。

「グラフが点◯と◯を通る」「傾きが◯で点◯を通る」——こうした条件から式 $y=ax+b$ を求める問題は頻出です。 $a$ と $b$ を順に決めるだけ。3パターンを押さえましょう。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

傾きと1点から式を出す → ここを見る
2点から式を出す → ここを見る
グラフから式を読む → ここを見る
結局どう進めればいい？ → ここを見る

パターン1：傾きと1点

傾き $a$ がわかっていれば、 $y=ax+b$ に $a$ と通る点を代入して $b$ を求めます。

例：傾き $2$ で点 $(3,1)$ を通る。 $y=2x+b$ に代入：

$1=2\times3+b \;\Rightarrow\; 1=6+b \;\Rightarrow\; b=-5$

よって $y=2x-5$ 。

パターン2：2点を通る

まず傾きを「 $y$ の差 ÷ $x$ の差」で求め、次に1点を使って $b$ を出します。

例：2点 $(1,3)$ 、 $(3,7)$ を通る直線。

$a=\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$

$y=2x+b$ に $(1,3)$ を代入： $3=2+b$ → $b=1$ 。よって $y=2x+1$ 。

セナ

傾きを出すとき、差の順番を間違えそう…

ホクト先生

$\dfrac{y\text{の差}}{x\text{の差}}$ の引く順番を、分母と分子でそろえればOK。 $(1,3)→(3,7)$ なら、xは $3-1$ 、yは $7-3$ 。同じ向きで引けば符号も合うよ。

✓理解チェック①

パターン3：グラフから読む

グラフが与えられたら、切片（y軸との交点）と傾き（右に1で上にいくつ）を読み取ります。

例：y軸と $(0,-1)$ で交わり、右に1進むと上に3上がる → $y=3x-1$ 。

進め方のまとめ

✓コツ

ゴールは $y=ax+b$ の形にすること。

傾き $a$ がわかる → 代入して $b$ を求める
2点だけ → まず傾き（差÷差）→ 次に $b$
グラフ → 切片と傾きを読む

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：傾きと1点）

傾きが与えられているので、代入して $b$ を求めましょう。

傾き4、点 $(1,2)$ を通る
傾き $-2$ 、点 $(3,0)$ を通る

答えと解説を見る

$y=4x+b$ に $(1,2)$ を代入： $2=4\times1+b$ → $b=-2$ → $y=4x-2$ （確かめ： $x=1$ で $y=4-2=2$ ◎）
$y=-2x+b$ に $(3,0)$ を代入： $0=-2\times3+b$ → $0=-6+b$ → $b=6$ → $y=-2x+6$ （確かめ： $x=3$ で $y=-6+6=0$ ◎）

✏️ やってみよう②（標準：2点を通る）

まず傾き（ $y$ の差 ÷ $x$ の差）を出し、次に1点で $b$ を求めましょう。

2点 $(0,3)$ 、 $(2,7)$ を通る
2点 $(1,1)$ 、 $(4,7)$ を通る

答えと解説を見る

傾き $\dfrac{7-3}{2-0}=\dfrac{4}{2}=2$ 。 $(0,3)$ より切片 $b=3$ → $y=2x+3$ （確かめ： $x=2$ で $y=4+3=7$ ◎）
傾き $\dfrac{7-1}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2$ 。 $y=2x+b$ に $(1,1)$ を代入： $1=2+b$ → $b=-1$ → $y=2x-1$ （確かめ： $x=4$ で $y=8-1=7$ ◎）

✏️ やってみよう③（応用：データから式を作る）

身近なデータを2点とみて、一次関数の式を求めましょう。

あるタクシーは、 $2$ km 乗ると料金が $880$ 円、 $5$ km 乗ると $1660$ 円でした。料金 $y$ 円が距離 $x$ km の一次関数だとすると、式は？また、初乗り料金（ $x=0$ のときの料金、切片）はいくらですか。
ろうそくに火をつけて $3$ 分後の長さが $13$ cm、 $8$ 分後が $8$ cm でした。長さ $y$ cm が時間 $x$ 分の一次関数だとすると、式は？

答えと解説を見る

2点 $(2,880)$ 、 $(5,1660)$ とみる。傾き $\dfrac{1660-880}{5-2}=\dfrac{780}{3}=260$ （1kmごとに260円）。 $y=260x+b$ に $(2,880)$ を代入： $880=520+b$ → $b=360$ → $y=260x+360$ 。切片360円が初乗り料金。（確かめ： $x=5$ で $y=1300+360=1660$ ◎）
2点 $(3,13)$ 、 $(8,8)$ とみる。傾き $\dfrac{8-13}{8-3}=\dfrac{-5}{5}=-1$ （1分ごとに1cm短くなる）。 $y=-x+b$ に $(3,13)$ を代入： $13=-3+b$ → $b=16$ → $y=-x+16$ （確かめ： $x=8$ で $y=-8+16=8$ ◎。 $x=0$ の最初の長さは16cm）

💡これ、社会のどこで役立つの？

「2つのデータから式を作る」力があると、今わかっている数字から、まだ測っていない値を予測できるようになります。

見積もり・価格の予測：タクシー料金や送料、印刷の枚数別の値段など、いくつかの実例から「初期費用（切片）＋単価（傾き）」の式を作り、まだ聞いていない場合の金額を計算できます。
理科・実験のデータ整理：ばねののび、温度と体積、時間と量など、測った点を直線で結んで式にすると、実験していない条件の値を読み取れます（理科の必須技術です）。
計画・在庫の管理：「先週と今週の残量」から減り方の式を作り、いつ無くなるか・いつ補充すべきかを前もって見積もる、といった使い方ができます。

データを式にして先を読む考え方は、統計や、高校で学ぶ関数・データ分析、将来のデータサイエンスやAIの基礎にもつながっていきます。

家おうちの方へ

式を求める問題は「 $a$ を決める → $b$ を決める」の順番が鉄則です。2点のときは傾き（差÷差）を先に。差を取る向き（xもyも同じ向き）をそろえれば符号ミスが防げます。最後は必ず $y=ax+b$ の形に整えて答える習慣を。

これで中2「一次関数」の基本（意味・グラフ・式）は完全攻略です！一次関数は連立方程式（グラフの交点）や、中3の y=ax² にもつながる土台になります。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

傾きと1点 → $y=ax+b$ に $a$ と点を代入して $b$ を求める。
2点 → 傾き $a=\dfrac{y\text{の差}}{x\text{の差}}$ を出し、次に1点で $b$ 。
グラフから → 切片と傾きを読み取る。
どの場合も最後は $y=ax+b$ の形にする。

よくある質問

一次関数の式はどうやって求めますか？

ゴールは y＝ax＋b の形にすることです。傾きaがわかっていれば、aと通る点を代入してbを求めます。2点だけなら、まず傾きを「yの差÷xの差」で出してから、1点を代入してbを求めます。グラフが与えられたら、切片（y軸との交点）と傾き（右に1で上にいくつ）を読み取ります。

2点を通る一次関数の式の求め方は？

まず傾き a＝（yの差）÷（xの差）を計算し、次にどちらか1点を代入してbを求めます。たとえば2点 (1, 3) と (3, 7) を通るなら、a＝(7−3)÷(3−1)＝2。y＝2x＋b に (1, 3) を代入すると 3＝2＋b で b＝1 となり、式は y＝2x＋1 です。

なぜ傾きを出すとき、引く順番をそろえないといけないの？

分母（xの差）と分子（yの差）で引く向きがちがうと、符号が逆になってしまうからです。(1, 3)→(3, 7) なら、xは 3−1、yは 7−3 のように同じ向きで引けば、符号も正しく合います。「yの差÷xの差」は、分母と分子で引く順番をそろえるのが鉄則です。

グラフから一次関数の式を読み取るには？

切片（y軸との交点）と、傾き（右に1進むと上下にいくつ動くか）を読み取ります。たとえばy軸と (0, −1) で交わり、右に1進むと上に3上がる直線なら、y＝3x−1 です。

#一次関数#式の求め方#中2数学