連立方程式を代入法で解く

連立方程式の代入法を図でわかりやすく。一方の式を代入して1文字を消す手順、加減法との使い分けが身につきます。

◎このページのゴール

代入法で連立方程式を解け、加減法と使い分けられるようになる。

もう1つの解き方が代入法。「 $y=\ldots$ 」のように片方の文字について解けている式があるとき、それをもう一方に代入して1文字を消します。加減法とどちらが速いか、見分けられると強いです。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

代入法のやり方 → ここを見る
代入の図でイメージしたい → ここを見る
式を整理してから代入する場合 → ここを見る
加減法と代入法の使い分け → ここを見る

代入法のやり方

→やり方

一方の式を「x＝」または「y＝」の形にする（すでにその形ならそのまま）
それをもう一方の式に代入して、1文字だけの方程式にする
解いて、求めた値を戻して、もう一方の文字も求める

例： $\begin{cases} y=2x \\ x+y=6 \end{cases}$ の上の式を下に代入します。

図で見る：y を 2x で置きかえる

$x+2x=6$ → $3x=6$ → $x=2$ 。これを $y=2x$ に戻して $y=4$ 。解は $x=2,\ y=4$ 。

セナ

y の場所に、まるごと 2x を入れる感じ？

ホクト先生

そう！「y ＝ 2x」なら、y を見つけて 2x に置きかえるだけ。式が2文字から1文字になって、いつもの一次方程式になるんだ。

✓理解チェック①

式を整理してから代入

「x＝」「y＝」の形がないときは、片方を変形してから。例： $\begin{cases} 2x+y=7 \\ 3x-2y=0 \end{cases}$ → 上を $y=7-2x$ にして下に代入。

$3x-2(7-2x)=0 \;\Rightarrow\; 3x-14+4x=0 \;\Rightarrow\; 7x=14 \;\Rightarrow\; x=2$

✕よくある間違い

代入するときはかっこをつける。 $-2(7-2x)$ を $-14-4x$ としてしまうのがよくあるミス。正しくは $-14+4x$ （かっこ内の各項に−2をかける）。

加減法と代入法の使い分け

✓コツ

「x＝」「y＝」の形がある、または作りやすい → 代入法が速い
係数がそろえやすい（同じ文字の係数が近い）→ 加減法が速い

どちらでも解けます。迷ったら、係数1の文字があれば代入法、なければ加減法が目安。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：そのまま代入する）

すでに「 $x=$ 」「 $y=$ 」の形があります。もう一方の式に代入して解きましょう。

$\begin{cases} y=3x \\ x+y=8 \end{cases}$
$\begin{cases} y=x-2 \\ 2x+y=10 \end{cases}$

答えと解説を見る

$y$ に $3x$ を代入： $x+3x=8$ → $4x=8$ → $x=2$ 。 $y=3\times2=6$ 。 $x=2,\ y=6$ （確かめ： $y=3x$ は $6=3\times2$ 、 $x+y=2+6=8$ ◎）
$y$ に $x-2$ を代入： $2x+(x-2)=10$ → $3x-2=10$ → $3x=12$ → $x=4$ 。 $y=4-2=2$ 。 $x=4,\ y=2$ （確かめ： $y=x-2$ は $2=4-2$ 、 $2x+y=8+2=10$ ◎）

✏️ やってみよう②（標準：かっこに注意して代入）

代入するときは必ずかっこをつけて、符号に気をつけましょう。

$\begin{cases} x=2y \\ 3x-y=10 \end{cases}$
$\begin{cases} y=2x+1 \\ 3x+y=11 \end{cases}$

答えと解説を見る

$x$ に $2y$ を代入： $3(2y)-y=10$ → $6y-y=10$ → $5y=10$ → $y=2$ 。 $x=2\times2=4$ 。 $x=4,\ y=2$ （確かめ： $x=2y$ は $4=2\times2$ 、 $3\times4-2=12-2=10$ ◎）
$y$ に $2x+1$ を代入： $3x+(2x+1)=11$ → $5x+1=11$ → $5x=10$ → $x=2$ 。 $y=2\times2+1=5$ 。 $x=2,\ y=5$ （確かめ： $y=2x+1$ は $5=2\times2+1$ 、 $3\times2+5=6+5=11$ ◎）

✏️ やってみよう③（応用：整理してから代入／文章題）

「 $x=$ 」「 $y=$ 」の形を自分で作る問題と、文章題に挑戦しましょう。

$\begin{cases} 2x+y=5 \\ 3x-2y=4 \end{cases}$
ホクト先生は妹より6歳年上で、2人の年齢の和は28歳。ホクト先生と妹は何歳？

答えと解説を見る

上の式を $y=5-2x$ にして下に代入： $3x-2(5-2x)=4$ → $3x-10+4x=4$ → $7x=14$ → $x=2$ 。 $y=5-2\times2=1$ 。 $x=2,\ y=1$ （確かめ： $2\times2+1=5$ 、 $3\times2-2\times1=6-2=4$ ◎）
ホクト先生を $x$ 歳、妹を $y$ 歳とおく。 $\begin{cases} x=y+6 \\ x+y=28 \end{cases}$ 。上を下に代入： $(y+6)+y=28$ → $2y+6=28$ → $2y=22$ → $y=11$ 。 $x=11+6=17$ 。ホクト先生17歳・妹11歳（確かめ： $17=11+6$ 、 $17+11=28$ ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

代入法は「ある文字を、それと等しい式でまるごと置きかえる」技。1つの値が決まると、それに連動して別の値が芋づる式に決まる場面で活躍します。

表計算・プログラミング：あるセルや変数の中身を別の式で参照する（「単価×個数＝金額」のように、決まった値を次の計算へ流し込む）考え方そのもの。
レシピ・分量の調整：「水は米の1.2倍」のように一方を他方で表しておき、人数が変わったら一気に全量を計算し直す。
お金の計画：「貯金は毎月の手取りの2割」のように一方を式で固定し、収入が決まれば貯金・支出が連動して決まる家計の見積もり。

「等しいものは置きかえてよい」という代入の考え方は、文字式・関数・プログラミングまで、数学を進めるほど何度も出てくる基本動作です。

家おうちの方へ

代入法は「文字を式まるごとで置きかえる」操作です。最大のミスは代入時のかっこ忘れ（符号ミス）。必ずかっこをつけて展開させてください。加減法・代入法はどちらでも解けるので、式の形を見て速いほうを選べると、テストで時間を節約できます。

最後は、連立方程式の本領発揮、文章題です。2つの数量を x・y とおいて、2つの式を立てます。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

代入法：一方の式を「x＝」か「y＝」の形にして、もう一方の式に代入して1文字を消す。
「x＝」「y＝」の形があるときに便利。
代入するときはかっこをつけて、符号に注意。
求めた値を戻して、もう一方の文字も求める。

よくある質問

連立方程式の代入法とは何ですか？

一方の式を「x＝」か「y＝」の形にして、もう一方の式に代入し、1文字を消して解く方法です。たとえば y＝2x と x＋y＝6 なら、y のかわりに 2x を入れて x＋2x＝6 → x＝2、y＝4。求めた値をもとの式に戻して、もう一方の文字も求めます。

なぜ代入すると連立方程式が解けるの？

「等しいものは、まるごと置きかえてよい」からです。y＝2x なら、もう一方の式の y の場所に 2x を入れられるので、式が2文字から1文字になり、中1で習った一次方程式として解けるようになります。この置きかえの考え方は、関数やプログラミングでも使われる基本の動作です。

代入法でいちばん多いミスは何ですか？

代入するときのかっこ忘れによる符号ミスです。たとえば 3x−2(7−2x) を −14−4x としてしまうのがよくある間違いで、正しくはかっこ内の各項に −2 をかけて −14＋4x です。代入するときは必ずかっこをつけてから展開しましょう。

加減法と代入法はどう使い分けるの？

「x＝」「y＝」の形がある、または作りやすいときは代入法、係数がそろえやすいときは加減法が速いです。どちらの方法でも解けるので、迷ったら係数1の文字があれば代入法、なければ加減法を選ぶのが目安です。

#連立方程式#代入法#中2数学