連立方程式とは？加減法で解く

連立方程式とは、xとyの2つの文字をふくむ2つの式を組にしたもので、両方を同時に満たす(x,y)の組が解になります。てんびん図を使って「2つの式をたしても引いてもつりあいが崩れない」理由を示しながら、加減法で1文字を消して一次方程式に持ちこむ解き方をやさしく解説します。

先に答え

連立方程式とは $2$ つの文字をふくむ $2$ つの式の組で、両方を同時に満たす $(x,\ y)$ が解です（グラフでは $2$ 直線の交点）。加減法は $2$ 式をたすか引くかして $1$ 文字を消す解き方で、 $x+y=7$ と $x-y=1$ をたすと $2x=8$ より $x=4$ 、もどして $y=3$ 。係数がそろっていないときは、何倍かしてからそろえます。

◎このページのゴール

連立方程式の意味を理解し、加減法で解けるようになる。

文字が2つになると急に難しく感じますが、やることは1つ。「1文字を消して、知っている一次方程式にする」だけ。まずは意味と、消す代表ワザ「加減法」を身につけましょう。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

連立方程式って何？ → ここを見る
解の意味（グラフで） → ここを見る
加減法のやり方 → ここを見る
なぜ2つの式をたしてよいの？ → ここを見る
係数のそろえ方 → ここを見る

連立方程式とは

$x$ と $y$ の2つの文字を含む2つの方程式を組にしたものが連立方程式。両方を同時に満たす $(x,y)$ の組が解です。

\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}

この解は $x=3,\ y=2$ 。実際、 $3+2=5$ も $3-2=1$ も成り立ちます。

✓理解チェック1

連立方程式の「解」とは何のことですか？

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答え：2つの方程式を両方同時に満たす $x$ と $y$ の組

連立方程式の解は「両方を同時に満たす $(x,\ y)$ の組」。片方だけ成り立ってもだめです。 $x+y=5$ と $x-y=1$ なら $x=3,\ y=2$ が解です。

グラフで見る：2直線の交点

それぞれの式を直線とみると、連立方程式の解は2直線の交点にあたります。

✓理解チェック2

それぞれの式を直線とみたとき、連立方程式の解はグラフ上のどこにあらわれますか？

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答え：2直線の交点

解は両方の式を同時に満たす点なので、両方の直線の上にある点＝交点です。 $x+y=5$ と $x-y=1$ なら交点 $(3,\ 2)$ が解です。

加減法：たす・引いて1文字を消す

2つの式をたすか引くかして、片方の文字を消します。上の例は、たすと $y$ が消えます。

\begin{aligned}(x+y)+(x-y)&=5+1\\ 2x&=6 \;\Rightarrow\; x=3\end{aligned}

$x=3$ をどちらかの式に戻して、 $3+y=5$ → $y=2$ 。

セナ

たすと y が消えるのは、+y と −y があるからだね。

……でも待って。そもそも別々の式を、勝手にたしてもいいの？

ホクト先生

いい疑問だね。そこを納得しておくと、加減法がただの作業じゃなくなるよ。

なぜ、別々の式をたしてよいの？

$=$ という記号は「左と右が同じ量」という意味です。

つまり式が1本あるということは、つりあったてんびんが1台あるということ。

実物のてんびんで加減法を説明した図。x＋yと5、x−yと1がそれぞれつりあい、2つを足すと2xと6がつりあう

?どうして？

1台目： $x+y$ と $5$ がつりあっている。

2台目： $x-y$ と $1$ がつりあっている。

ここで、つりあった2台の中身を、左は左どうし・右は右どうしまとめて1台に乗せかえます。

左の皿に $(x+y)+(x-y)$ 、右の皿に $5+1$ 。

もともとどちらもつりあっていたのだから、合わせたあともつりあいは崩れません。

(x+y)+(x-y)=5+1

だから別々の式をたしてよいのです。

これは1年生で習った等式の性質「同じ量をたしても等号は成り立つ」を、2つの式に広げたものです。

引き算も同じ理由でできます。つりあった片方から、つりあったもう片方を取りのぞいても、残りはつりあったままです。

セナ

たまたま消えるように仕組んでるんじゃなくて、つりあいが崩れないから許されてるんだね。

ホクト先生

そういうこと。あとはどう合わせれば文字が消えるかを選ぶだけ。

同じ文字で符号が反対なら「たす」、符号が同じなら「引く」と消える。消したい文字の係数の絶対値をそろえるのがコツだよ。

✓理解チェック3

同じ文字の係数の絶対値がそろっていて、符号が反対のとき、その文字を消すには？

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答え：2つの式をたす

$+y$ と $-y$ のように符号が反対の項は、たすと打ち消し合って0になります。符号が同じときは、引くと消えます。

✓理解チェック4

連立方程式

x+y=7

と

x-y=3

を加減法で解くと？

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答え： $x=5,\ y=2$

たすと $2x=10$ → $x=5$ 。 $5+y=7$ → $y=2$ です。

係数をそろえてから

係数がそろっていないときは、何倍かして係数の絶対値をそろえてから、たす・引くをします。

例： $\begin{cases} 3x+2y=7 \\ x+y=3 \end{cases}$ → 下の式を2倍して $2x+2y=6$ 。 $y$ の係数がそろったので引くと、

(3x+2y)-(2x+2y)=7-6 \;\Rightarrow\; x=1

$x=1$ を $x+y=3$ に戻して $y=2$ 。

✕よくある間違い

引き算のとき、右辺も含めて全部引くのを忘れずに。また $-(2x+2y)$ の符号は各項にかかります（ $-2x-2y$ ）。符号ミスが最頻出です。

✓理解チェック5

3x+2y=7

と

x+y=3

で

y

を消したい。まず何をしますか？

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答え：下の式を2倍して $2x+2y=6$ にする

消したい $y$ の係数は 2 と 1。下の式の両辺を2倍すれば $2x+2y=6$ となり、係数がそろって引き算で $y$ が消せます。何倍かするときは、必ず両辺に同じ数をかけます。

✓理解チェック6

連立方程式

2x+y=8

と

x+y=5

の解は？

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答え： $x=3,\ y=2$

$y$ の係数がそろっているので引く： $(2x+y)-(x+y)=8-5$ → $x=3$ 。 $3+y=5$ → $y=2$ 。

やってみよう（練習問題）

やってみよう①（基本：そのままたす・引く）

係数の絶対値がもうそろっています。たすか引くかで1文字を消しましょう。

$\begin{cases} x+y=6 \\ x-y=2 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x+y=10 \\ x+y=6 \end{cases}$

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符号が反対の $y$ があるので、たすと $2x=8$ → $x=4$ 。 $4+y=6$ → $y=2$ 。 $x=4,\ y=2$ （確かめ： $4+2=6$ 、 $4-2=2$ ◎）
$y$ の係数が同じなので、引くと $2x=4$ → $x=2$ 。 $2+y=6$ → $y=4$ 。 $x=2,\ y=4$ （確かめ： $3\times2+4=10$ 、 $2+4=6$ ◎）

やってみよう②（標準：そろっている文字を消す）

たすか引くかを見分けて、1文字を消しましょう。

$\begin{cases} 2x+3y=12 \\ 2x+y=8 \end{cases}$
$\begin{cases} x+2y=7 \\ 3x+2y=11 \end{cases}$

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$x$ の係数が同じなので、引くと $(2x+3y)-(2x+y)=12-8$ → $2y=4$ → $y=2$ 。 $2x+2=8$ → $x=3$ 。 $x=3,\ y=2$ （確かめ： $2\times3+3\times2=12$ 、 $2\times3+2=8$ ◎）
$y$ の係数が同じなので、引くと $(3x+2y)-(x+2y)=11-7$ → $2x=4$ → $x=2$ 。 $2+2y=7$ → $2y=5$ → $y=\dfrac{5}{2}$ 。 $x=2,\ y=\dfrac{5}{2}$ （確かめ： $2+2\times\dfrac{5}{2}=2+5=7$ 、 $3\times2+2\times\dfrac{5}{2}=6+5=11$ ◎）

やってみよう③（応用：両方そろえてから／文章題）

両方の係数をそろえてから消す問題と、文章題に挑戦。立式して加減法で解きましょう。

$\begin{cases} 2x+3y=13 \\ 3x+2y=12 \end{cases}$
ノート1冊とペン1本を買うと220円、ノート2冊とペン3本を買うと520円。ノート1冊とペン1本の値段は？

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$y$ をそろえる。上の式を $\times2$ で $4x+6y=26$ 、下の式を $\times3$ で $9x+6y=36$ 。引くと $(9x+6y)-(4x+6y)=36-26$ → $5x=10$ → $x=2$ 。 $2\times2+3y=13$ → $3y=9$ → $y=3$ 。 $x=2,\ y=3$ （確かめ： $2\times2+3\times3=4+9=13$ 、 $3\times2+2\times3=6+6=12$ ◎）
ノート1冊を $x$ 円、ペン1本を $y$ 円とおく。 $\begin{cases} x+y=220 \\ 2x+3y=520 \end{cases}$ 。上の式を $\times2$ で $2x+2y=440$ 。下から引くと $(2x+3y)-(2x+2y)=520-440$ → $y=80$ 。 $x+80=220$ → $x=140$ 。ノート140円・ペン80円（確かめ： $140+80=220$ 、 $2\times140+3\times80=280+240=520$ ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

加減法は「2つの式をたすか引くかで、じゃまな1つの数を消す」技。複数の条件がからむデータを、すっきり1つずつ求めるときに役立ちます。

お店・経理：単価のちがう2商品が「合わせて何個・売上いくら」かしかわからないとき、式を組んで消し、それぞれ何個売れたかを逆算する。
製造・看護・調理：濃さのちがう2つの液を混ぜて目標の濃度にする「配合」で、2本の式から必要な量を1つずつ求める。
表計算・データ分析：合計や平均など複数の条件式から、隠れた内訳（各項目の数）を割り出す。連立を消去で解く考え方そのものです。

加減法の「いらない文字を消して1つずつ確定する」やり方は、高校以降の行列・プログラミングでの計算（連立一次方程式の解法）にもそのままつながります。

家おうちの方へ

連立方程式は「1文字を消す→中1の一次方程式に持ち込む」のが本質です。加減法は「係数の絶対値をそろえて、符号が反対ならたす・同じなら引く」。最大のミスは引き算の符号（右辺や各項の符号）なので、1行ずつていねいに書かせてください。グラフの交点＝解、というイメージも持たせると理解が深まります。

加減法ができたら、もう1つの解き方代入法へ。式の形によって使い分けられると強いです。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

連立方程式＝2つの文字を含む2つの式の組。両方を同時に満たす(x, y)が解。
グラフでは2直線の交点が解。
加減法：2式をたすか引くかで1文字を消す。
消したい文字の係数の絶対値をそろえてから計算する。

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よくある質問

連立方程式の加減法とは何ですか？

2つの式をたすか引くかして1文字を消し、一次方程式にして解く方法です。消したい文字の係数の絶対値をそろえ、符号が反対ならたす、同じなら引くと消えます。たとえば x＋y＝5 と x−y＝1 をたすと 2x＝6 → x＝3、これを戻して y＝2 と求めます。

なぜ2つの式をたすと文字が消えるの？

＋y と −y のように、同じ文字で符号が反対の項は、たすと打ち消し合って0になるからです。符号が同じ場合は、引くと消えます。だから加減法では、まず消したい文字の係数の絶対値をそろえてから、たすか引くかを選びます。

連立方程式の解とはどういう意味ですか？

2つの方程式を両方同時に満たす (x, y) の組のことです。グラフで見ると、それぞれの式を直線とみたときの2直線の交点が解にあたります。たとえば x＋y＝5 と x−y＝1 の解 x＝3、y＝2 は、2つの直線の交点 (3, 2) です。

加減法の引き算で気をつけることは？

右辺も含めて全部引くことと、符号ミスです。−(2x＋2y) のように引くときは、かっこ内の各項に − がかかって −2x−2y になります。符号ミスが最頻出なので、1行ずつていねいに書くのがコツです。

この単元でつまずいたとき、家庭でできること

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つまずきの原因は、たいてい1つ前の単元にあります。まずそこを確かめてください。
印刷して、手を動かす
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説明役を、外部にまかせる
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#連立方程式#加減法#中2数学