連立方程式とは？加減法で解く

連立方程式の意味（2直線の交点）と、加減法の解き方を図でわかりやすく。1文字を消すために係数をそろえてたす・引く手順が身につきます。

◎このページのゴール

連立方程式の意味を理解し、加減法で解けるようになる。

文字が2つになると急に難しく感じますが、やることは1つ。「1文字を消して、知っている一次方程式にする」だけ。まずは意味と、消す代表ワザ「加減法」を身につけましょう。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

連立方程式って何？ → ここを見る
解の意味（グラフで） → ここを見る
加減法のやり方 → ここを見る
係数のそろえ方 → ここを見る

連立方程式とは

$x$ と $y$ の2つの文字を含む2つの方程式を組にしたものが連立方程式。両方を同時に満たす $(x,y)$ の組が解です。

$\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}$

この解は $x=3,\ y=2$ 。実際、 $3+2=5$ も $3-2=1$ も成り立ちます。

グラフで見る：2直線の交点

それぞれの式を直線とみると、連立方程式の解は2直線の交点にあたります。

加減法：たす・引いて1文字を消す

2つの式をたすか引くかして、片方の文字を消します。上の例は、たすと $y$ が消えます。

$\begin{aligned}(x+y)+(x-y)&=5+1\\ 2x&=6 \;\Rightarrow\; x=3\end{aligned}$

$x=3$ をどちらかの式に戻して、 $3+y=5$ → $y=2$ 。

セナ

たすと y が消えるのは、+y と −y があるからだね。

ホクト先生

その通り。同じ文字で符号が反対なら「たす」、符号が同じなら「引く」と消える。消したい文字の係数の絶対値をそろえるのがコツだよ。

✓理解チェック①

係数をそろえてから

係数がそろっていないときは、何倍かして係数の絶対値をそろえてから、たす・引くをします。

例： $\begin{cases} 3x+2y=7 \\ x+y=3 \end{cases}$ → 下の式を2倍して $2x+2y=6$ 。 $y$ の係数がそろったので引くと、

$(3x+2y)-(2x+2y)=7-6 \;\Rightarrow\; x=1$

$x=1$ を $x+y=3$ に戻して $y=2$ 。

✕よくある間違い

引き算のとき、右辺も含めて全部引くのを忘れずに。また $-(2x+2y)$ の符号は各項にかかります（ $-2x-2y$ ）。符号ミスが最頻出です。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：そのままたす・引く）

係数の絶対値がもうそろっています。たすか引くかで1文字を消しましょう。

$\begin{cases} x+y=6 \\ x-y=2 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x+y=10 \\ x+y=6 \end{cases}$

答えと解説を見る

符号が反対の $y$ があるので、たすと $2x=8$ → $x=4$ 。 $4+y=6$ → $y=2$ 。 $x=4,\ y=2$ （確かめ： $4+2=6$ 、 $4-2=2$ ◎）
$y$ の係数が同じなので、引くと $2x=4$ → $x=2$ 。 $2+y=6$ → $y=4$ 。 $x=2,\ y=4$ （確かめ： $3\times2+4=10$ 、 $2+4=6$ ◎）

✏️ やってみよう②（標準：そろっている文字を消す）

たすか引くかを見分けて、1文字を消しましょう。

$\begin{cases} 2x+3y=12 \\ 2x+y=8 \end{cases}$
$\begin{cases} x+2y=7 \\ 3x+2y=11 \end{cases}$

答えと解説を見る

$x$ の係数が同じなので、引くと $(2x+3y)-(2x+y)=12-8$ → $2y=4$ → $y=2$ 。 $2x+2=8$ → $x=3$ 。 $x=3,\ y=2$ （確かめ： $2\times3+3\times2=12$ 、 $2\times3+2=8$ ◎）
$y$ の係数が同じなので、引くと $(3x+2y)-(x+2y)=11-7$ → $2x=4$ → $x=2$ 。 $2+2y=7$ → $2y=5$ → $y=\dfrac{5}{2}$ 。 $x=2,\ y=\dfrac{5}{2}$ （確かめ： $2+2\times\dfrac{5}{2}=2+5=7$ 、 $3\times2+2\times\dfrac{5}{2}=6+5=11$ ◎）

✏️ やってみよう③（応用：両方そろえてから／文章題）

両方の係数をそろえてから消す問題と、文章題に挑戦。立式して加減法で解きましょう。

$\begin{cases} 2x+3y=13 \\ 3x+2y=12 \end{cases}$
ノート1冊とペン1本を買うと220円、ノート2冊とペン3本を買うと520円。ノート1冊とペン1本の値段は？

答えと解説を見る

$y$ をそろえる。上の式を $\times2$ で $4x+6y=26$ 、下の式を $\times3$ で $9x+6y=36$ 。引くと $(9x+6y)-(4x+6y)=36-26$ → $5x=10$ → $x=2$ 。 $2\times2+3y=13$ → $3y=9$ → $y=3$ 。 $x=2,\ y=3$ （確かめ： $2\times2+3\times3=4+9=13$ 、 $3\times2+2\times3=6+6=12$ ◎）
ノート1冊を $x$ 円、ペン1本を $y$ 円とおく。 $\begin{cases} x+y=220 \\ 2x+3y=520 \end{cases}$ 。上の式を $\times2$ で $2x+2y=440$ 。下から引くと $(2x+3y)-(2x+2y)=520-440$ → $y=80$ 。 $x+80=220$ → $x=140$ 。ノート140円・ペン80円（確かめ： $140+80=220$ 、 $2\times140+3\times80=280+240=520$ ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

加減法は「2つの式をたすか引くかで、じゃまな1つの数を消す」技。複数の条件がからむデータを、すっきり1つずつ求めるときに役立ちます。

お店・経理：単価のちがう2商品が「合わせて何個・売上いくら」かしかわからないとき、式を組んで消し、それぞれ何個売れたかを逆算する。
製造・看護・調理：濃さのちがう2つの液を混ぜて目標の濃度にする「配合」で、2本の式から必要な量を1つずつ求める。
表計算・データ分析：合計や平均など複数の条件式から、隠れた内訳（各項目の数）を割り出す。連立を消去で解く考え方そのものです。

加減法の「いらない文字を消して1つずつ確定する」やり方は、高校以降の行列・プログラミングでの計算（連立一次方程式の解法）にもそのままつながります。

家おうちの方へ

連立方程式は「1文字を消す→中1の一次方程式に持ち込む」のが本質です。加減法は「係数の絶対値をそろえて、符号が反対ならたす・同じなら引く」。最大のミスは引き算の符号（右辺や各項の符号）なので、1行ずつていねいに書かせてください。グラフの交点＝解、というイメージも持たせると理解が深まります。

加減法ができたら、もう1つの解き方代入法へ。式の形によって使い分けられると強いです。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

連立方程式＝2つの文字を含む2つの式の組。両方を同時に満たす(x, y)が解。
グラフでは2直線の交点が解。
加減法：2式をたすか引くかで1文字を消す。
消したい文字の係数の絶対値をそろえてから計算する。

よくある質問

連立方程式の加減法とは何ですか？

2つの式をたすか引くかして1文字を消し、一次方程式にして解く方法です。消したい文字の係数の絶対値をそろえ、符号が反対ならたす、同じなら引くと消えます。たとえば x＋y＝5 と x−y＝1 をたすと 2x＝6 → x＝3、これを戻して y＝2 と求めます。

なぜ2つの式をたすと文字が消えるの？

＋y と −y のように、同じ文字で符号が反対の項は、たすと打ち消し合って0になるからです。符号が同じ場合は、引くと消えます。だから加減法では、まず消したい文字の係数の絶対値をそろえてから、たすか引くかを選びます。

連立方程式の解とはどういう意味ですか？

2つの方程式を両方同時に満たす (x, y) の組のことです。グラフで見ると、それぞれの式を直線とみたときの2直線の交点が解にあたります。たとえば x＋y＝5 と x−y＝1 の解 x＝3、y＝2 は、2つの直線の交点 (3, 2) です。

加減法の引き算で気をつけることは？

右辺も含めて全部引くことと、符号ミスです。−(2x＋2y) のように引くときは、かっこ内の各項に − がかかって −2x−2y になります。符号ミスが最頻出なので、1行ずつていねいに書くのがコツです。

#連立方程式#加減法#中2数学