平方根とは？（√の意味・大小）

中3数学「平方根と√（ルート）の意味」を、面積が2の正方形の一辺の長さという図でやさしく解説。2乗するとその数になる数という定義から、√9＝3と9の平方根＝±3のちがい、√どうしの大小のくらべ方まで、つまずきやすい符号の区別がしっかりわかります。

$\sqrt{2}$ って結局なに？ 答えは「面積が2の正方形の一辺の長さ」。$2$ 乗すると $2$ になる数のことです。記号におびえず、図で意味をつかめば一気にわかります。

平方根とは

2乗するとその数になる数を、その数の平方根といいます。

• $3^2=9$、$(-3)^2=9$ なので、$9$ の平方根は $+3$ と $-3$ の2つ。
• このうち正のほうを記号 $\sqrt{\ }$（根号・ルート）で表します。$\sqrt{9}=3$。
• $9$ のようにきれいにならない数（例 $2$）は、$\sqrt{2}$ と書いて表します（$\sqrt{2}=1.41421\ldots$）。

図でわかる：面積から一辺へ

正方形の面積が $a$ のとき、その一辺の長さが $\sqrt{a}$ です。面積2の正方形の一辺が $\sqrt{2}$。

数直線で見ると、$\sqrt{2}\approx1.41$ は $1$ と $2$ の間にあります（$1^2=1$、$2^2=4$ だから）。

セナ

$\sqrt{2}$ は「1.41…」ってずっと続くんだよね。きれいな数じゃないのが不思議。

ホクト先生

そう、$\sqrt{2}$ は分数で表せない数（無理数）なんだ。でも「面積2の正方形の一辺」と思えば、ちゃんと“ある長さ”だとわかるよね。

√9＝3 と「9の平方根＝±3」のちがい

ここはみんな混乱します。整理しましょう。

√の大小

中の数が大きいほど、√も大きくなります（$a<b$ なら $\sqrt{a}<\sqrt{b}$）。

例：$\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ では、$2<3$ なので $\sqrt{2}<\sqrt{3}$。
$\sqrt{5}$ と $2$ では、$2=\sqrt{4}$ に直すと $\sqrt{4}<\sqrt{5}$ だから $2<\sqrt{5}$。

やってみよう（練習問題）

意味がわかったら、次は√のかけ算・わり算と、$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ のような変形に進みます。