根号をふくむ式の計算（かけ算・a√bへの変形）

√のかけ算わり算（√a×√b＝√ab）を面積図でわかりやすく。√12＝2√3 のように根号の中を簡単にする変形、a√b⇄√の中に入れる変形まで身につきます。

◎このページのゴール

√のかけ算・わり算を計算し、√の中を簡単にする（a√bへの）変形ができるようになる。

√のかけ算は、中の数どうしをかけて1つの√にまとめるだけ。そして $\sqrt{12}$ のような数は $2\sqrt{3}$ と“簡単な形”に直します。面積図で意味を見てから、手順を覚えましょう。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

√のかけ算わり算のやり方 → ここを見る
なぜ中をかけてよいのか（図で） → ここを見る
√12＝2√3 の変形が分からない → ここを見る
外の数を中に入れる変形を知りたい → ここを見る

√のかけ算・わり算

→やり方

$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\qquad \sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

中の数どうしをかける（わる）だけ。

例： $\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$ 、 $\sqrt{18}\div\sqrt{2}=\sqrt{9}=3$

図でわかる：なぜ中をかける？

$\sqrt{2}\times\sqrt{3}$ は「たて $\sqrt{2}$ ・よこ $\sqrt{3}$ の長方形の面積」。面積は $\sqrt{2}\times\sqrt{3}$ で、これがちょうど $\sqrt{6}$ になります。

√の中を簡単にする（a√bの形）

$\sqrt{12}$ は、中を「平方数 × 残り」に分けて、平方数を√の外に出します。 $12=4\times3$ 、 $\sqrt{4}=2$ なので、

$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

✓コツ

「平方数」＝ $4,9,16,25,36\ldots$ （2乗の数）。√の中にこれらがかけ算で隠れていないかを探すのがコツ。
例） $\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$ 。

セナ

どの平方数で分ければいいか、迷っちゃう。

ホクト先生

いちばん大きい平方数で割れるとベスト。思いつかなければ、 $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}$ のように小さい平方数から試せばOK。最後に√の中にもう平方数が残っていないか確認しよう。

✓理解チェック①

逆：外の数を中に入れる

$a\sqrt{b}$ の外の数 $a$ を√の中に入れるときは、2乗して入れます（ $a=\sqrt{a^2}$ だから）。

$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\times3}=\sqrt{12}$

大小をくらべるときなどに使います（例： $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ と $\sqrt{10}$ なら $\sqrt{12}>\sqrt{10}$ ）。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：√のかけ算）

中の数どうしをかけて1つの√にまとめましょう。

$\sqrt{5}\times\sqrt{7}$
$\sqrt{2}\times\sqrt{3}$

答えと解説を見る

$\sqrt{5}\times\sqrt{7}=\sqrt{35}$ （中はもう簡単にできない）（確かめ： $\sqrt{35}\approx5.92$ 、 $\sqrt{5}\times\sqrt{7}\approx2.24\times2.65\approx5.92$ ◎）
$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$ （確かめ： $\sqrt{6}\approx2.45$ 、 $\sqrt{2}\times\sqrt{3}\approx1.41\times1.73\approx2.45$ ◎）

✏️ やってみよう②（標準：a√bへの変形）

√の中に隠れた平方数を外に出しましょう。

$\sqrt{8}$ を $a\sqrt{b}$ の形に
$\sqrt{45}$ を簡単に

答えと解説を見る

$\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}$ （確かめ： $(2\sqrt{2})^2=4\times2=8$ ◎）
$\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=3\sqrt{5}$ （確かめ： $(3\sqrt{5})^2=9\times5=45$ ◎）

✏️ やってみよう③（応用：かけてから簡単にする）

まずかけ算で1つの√にまとめ、そのあと√の中を簡単にしましょう。

$\sqrt{6}\times\sqrt{8}$ を簡単に
$\sqrt{10}\times\sqrt{15}$ を簡単に

答えと解説を見る

$\sqrt{6}\times\sqrt{8}=\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$ （確かめ： $(4\sqrt{3})^2=16\times3=48$ 、 $6\times8=48$ ◎）
$\sqrt{10}\times\sqrt{15}=\sqrt{150}=\sqrt{25\times6}=5\sqrt{6}$ （確かめ： $(5\sqrt{6})^2=25\times6=150$ 、 $10\times15=150$ ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

「中の数をまとめる」「平方数を外に出す」変形は、面積や長さの計算を見やすく整えるための技。長さ・面積を扱う仕事で役立ちます。

設計・建築・DIY：面積が決まった土地や板から「一辺の長さ」を求めるとき、 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ のように整理しておくと、寸法を正確に扱える。
三平方の定理での長さ計算：ななめの長さを出すと $\sqrt{50}$ のような数になることが多く、 $5\sqrt{2}$ に直すと約7.07mとすぐ見積もれる。
CG・ゲーム制作：画面上の2点間の距離は√を含む計算になる。式を簡単な形にしておくと、計算が速く・正確になる。

この変形に慣れておくと、このあとの加減・有理化や、二次方程式の解の公式での√の処理がぐっと楽になります。

家おうちの方へ

√の変形は「中に平方数（4,9,16…）が隠れていないか探す」ゲームです。最初は素因数分解（ $12=2\times2\times3$ → 2が2個＝√の外へ）で確実に。答えの√の中にまだ平方数が残っていないか、最後に確認する習慣をつけると失点が減ります。

最後は、平方根のたし算・ひき算と、分母に√があるときの有理化です。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ／ $\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ 。
√の中の平方数を見つけて外に出す： $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$ 。
逆に外の数は2乗して中へ： $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ 。
答えは√の中をできるだけ小さく（簡単に）する。

よくある質問

平方根（√）のかけ算・わり算はどうやって計算しますか？

√の中の数どうしをかけて（わって）、1つの√にまとめます。√a×√b＝√(a×b)、√a÷√b＝√(a÷b) です。たとえば √2×√3＝√6、√18÷√2＝√9＝3 になります。

√12＝2√3 のように、√の中を簡単にするにはどうしますか？

√の中を「平方数×残り」に分けて、平方数を√の外に出します。12＝4×3 で √4＝2 なので、√12＝√(4×3)＝2√3 です。平方数（4、9、16、25…）が中にかけ算で隠れていないか探すのがコツで、最後に√の中に平方数が残っていないかも確認します。

なぜ√のかけ算は、中の数どうしをかけてよいの？

√2×√3 は、たて√2・よこ√3 の長方形の面積と考えられるからです。この面積はちょうど√6（2乗すると6になる数）にあたるので、中の数どうしをかけて1つの√にまとめられます。面積図で見ると意味がつかみやすくなります。

√の外の数を中に入れるには、どうしますか？

外の数を2乗してから√の中に入れます（a＝√(a²) だから）。たとえば 2√3＝√(2²×3)＝√12 です。2√3 と √10 のような数の大小をくらべるとき、√12＞√10 と同じ形にそろえられるので便利です。

#平方根#根号の計算#a√b#中3数学