根号をふくむ式の計算（かけ算・a√bへの変形）

根号（√）をふくむ式のかけ算・わり算とは、√の中の数どうしをかけたりわったりして1つの√にまとめる計算のこと。中3数学のこの単元では、面積図でその理由を確かめながら、√12＝2√3のように根号の中を簡単にする変形と、その逆に外の数を中へ入れる変形まで身につきます。

√のかけ算は、中の数どうしをかけて1つの√にまとめるだけ。そして $\sqrt{12}$ のような数は $2\sqrt{3}$ と“簡単な形”に直します。面積図で意味を見てから、手順を覚えましょう。

√のかけ算・わり算

例：$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$、$\sqrt{18}\div\sqrt{2}=\sqrt{9}=3$

図でわかる：なぜ中をかける？

$\sqrt{2}\times\sqrt{3}$ は「たて $\sqrt{2}$・よこ $\sqrt{3}$ の長方形の面積」。面積は $\sqrt{2}\times\sqrt{3}$ で、これがちょうど $\sqrt{6}$ になります。

√の中を簡単にする（a√bの形）

$\sqrt{12}$ は、中を「平方数 × 残り」に分けて、平方数を√の外に出します。$12=4\times3$、$\sqrt{4}=2$ なので、

セナ

どの平方数で分ければいいか、迷っちゃう。

ホクト先生

いちばん大きい平方数で割れるとベスト。思いつかなければ、$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}$ のように小さい平方数から試せばOK。最後に√の中にもう平方数が残っていないか確認しよう。

逆：外の数を中に入れる

$a\sqrt{b}$ の外の数 $a$ を√の中に入れるときは、2乗して入れます（$a=\sqrt{a^2}$ だから）。

大小をくらべるときなどに使います（例：$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ と $\sqrt{10}$ なら $\sqrt{12}>\sqrt{10}$）。

やってみよう（練習問題）

最後は、平方根のたし算・ひき算と、分母に√があるときの有理化です。