平方根の加減と有理化

平方根のたし算ひき算（同じ√どうしをまとめる）と、分母の有理化を図でわかりやすく。√2+√3＝√5 にならない理由、1/√2＝√2/2 の作り方が身につきます。

$\sqrt2+\sqrt3$ は $\sqrt5$？ ——いいえ、これはまとめられません。√のたし算は「同じ√どうし」だけ。文字式で $x$ と $y$ がまとめられないのと同じです。最後に、分母の√を消す「有理化」も攻略します。

加減は「同じ√どうし」だけ

$\sqrt3$ を1つのまとまり（文字の $x$ のようなもの）と考えます。同じ $\sqrt3$ どうしなら、個数をたし引きできます。

$2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$

√2+√3 がまとめられない理由

$\sqrt2$ と $\sqrt3$ はちがう種類（ちがう√）。種類がちがうものは1つにまとめられません。

セナ

じゃあ √8 + √2 もまとめられないの？

ホクト先生

それはまとめられる！ $\sqrt8=2\sqrt2$ に直すと、どちらも $\sqrt2$ の仲間になる。だから「まず簡単にしてから」が大事なんだ。

まず簡単にしてからまとめる

$\sqrt8+\sqrt2=2\sqrt2+\sqrt2=3\sqrt2$

一見ちがう√でも、$a\sqrt b$ に直すと同じ仲間になることがあります。加減の前に、必ず√を簡単にしましょう。

有理化：分母の√を消す

$\dfrac{1}{\sqrt2}$ のように分母に√があると扱いにくいので、分母・分子に同じ√をかけて、分母を整数に直します。これを有理化といいます。

$\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{1\times\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$

例：$\dfrac{3}{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$。

やってみよう（練習問題）

これで中3「平方根」は完全攻略です！ 平方根は二次方程式（解の公式・平方根の利用）や三平方の定理で必ず使います。あやしくなったら、いつでもこの図に戻ってきてください。