√2+√3 が √5 にならない理由は？

√2 と √3 はちがう種類の√で、ちがう√どうしは1つにまとめられないから

√のたし算では、中の数をかけるのが正しいから

√2 と √3 の値が決まっていないから

√はたし算そのものができない数だから

√5 という数は存在しないから

中の数をたすと 6 になるから

√2+√3 は必ず整数になるから

√12+√3 を計算すると？

√12+√3（まとめられない）

平方根の加減と有理化

平方根の加減とは、2√3＋3√3のように同じ√どうしをまとめて計算すること（√2＋√3のようにちがう√はまとめられません）。中3数学のこの単元では、a√bに簡単にしてからまとめる手順と、分母の√を消す有理化のやり方を図でわかりやすく解説します。

先に答え

根号のたし算・ひき算は同じ $\sqrt{\ }$ どうしだけまとめられます（ $2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$ ）。 $\sqrt2+\sqrt3$ はまとめられません（ $\sqrt5$ ではない）。まず $a\sqrt b$ の形に簡単にしてからまとめるのがコツで、 $\sqrt8+\sqrt2=2\sqrt2+\sqrt2=3\sqrt2$ 。分母の有理化は分母と同じ $\sqrt{\ }$ を分母分子にかけて、 $\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ とします。

◎このページのゴール

平方根の加減（同類項のまとめ）と、分母の有理化ができるようになる。

$\sqrt2+\sqrt3$ は $\sqrt5$ ？ ——いいえ、これはまとめられません。√のたし算は「同じ√どうし」だけ。文字式で $x$ と $y$ がまとめられないのと同じです。最後に、分母の√を消す「有理化」も攻略します。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

√のたし算ひき算のやり方 → ここを見る
√2+√3＝√5 はなぜダメ？ → ここを見る
有理化って何？やり方は？ → ここを見る
まとめる前にやることは？ → ここを見る

加減は「同じ√どうし」だけ

$\sqrt3$ を1つのまとまり（文字の $x$ のようなもの）と考えます。同じ $\sqrt3$ どうしなら、個数をたし引きできます。

2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3

✓理解チェック1

2\sqrt{5}+4\sqrt{5}

を計算すると？

答えと解説を見る

答え： $6\sqrt{5}$

同じ $\sqrt{5}$ が $2$ 個と $4$ 個で、合わせて $6$ 個。 $(2+4)\sqrt{5}=6\sqrt{5}$ です。√の中の数はたしません。

√2+√3 がまとめられない理由

$\sqrt2$ と $\sqrt3$ はちがう種類（ちがう√）。種類がちがうものは1つにまとめられません。

✕よくある間違い

$\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5$ はまちがい。確かめると $\sqrt2\approx1.41$ 、 $\sqrt3\approx1.73$ で和は約 $3.14$ 。一方 $\sqrt5\approx2.24$ 。まったく違います。 $x+y$ を $1$ つにできないのと同じです。

セナ

じゃあ √8 + √2 もまとめられないの？

ホクト先生

それはまとめられる！ $\sqrt8=2\sqrt2$ に直すと、どちらも $\sqrt2$ の仲間になる。だから「まず簡単にしてから」が大事なんだ。

✓理解チェック2

\sqrt{2}+\sqrt{3}

が

\sqrt{5}

にならない理由は？

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答え： $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ はちがう種類の√で、ちがう√どうしは1つにまとめられないから

文字式の $x+y$ を1つにまとめられないのと同じです。実際、 $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx3.14$ ですが $\sqrt{5}\approx2.24$ で、値もまったくちがいます。

まず簡単にしてからまとめる

\sqrt8+\sqrt2=2\sqrt2+\sqrt2=3\sqrt2

一見ちがう√でも、 $a\sqrt b$ に直すと同じ仲間になることがあります。加減の前に、必ず√を簡単にしましょう。

✓理解チェック3

\sqrt{12}+\sqrt{3}

を計算すると？

答えと解説を見る

答え： $3\sqrt{3}$

$\sqrt{12}=2\sqrt3$ 。だから $2\sqrt3+\sqrt3=3\sqrt3$ です。

✓理解チェック4

\sqrt{50}-\sqrt{8}

を計算すると？

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答え： $3\sqrt{2}$

$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ 。同じ $\sqrt{2}$ どうしなので $5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ です。

有理化：分母の√を消す

$\dfrac{1}{\sqrt2}$ のように分母に√があると扱いにくいので、分母・分子に同じ√をかけて、分母を整数に直します。これを有理化といいます。

\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{1\times\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}

例： $\dfrac{3}{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$ 。

✓理解チェック5

\dfrac{1}{\sqrt5}

を有理化すると？

答えと解説を見る

答え： $\dfrac{\sqrt5}{5}$

分母・分子に √5 をかけて $\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5\times\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ です。

✓理解チェック6

\dfrac{6}{\sqrt3}

を有理化して簡単にすると？

答えと解説を見る

答え： $2\sqrt3$

分母・分子に $\sqrt3$ をかけると $\dfrac{6\sqrt3}{3}$ 。約分して $2\sqrt3$ です。

やってみよう（練習問題）

やってみよう①（基本：同じ√どうしの加減）

同じ√どうしは、個数をたし引きできます。

$4\sqrt5-\sqrt5$
$2\sqrt7+5\sqrt7$

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$4\sqrt5-\sqrt5=(4-1)\sqrt5=3\sqrt5$ （確かめ： $\sqrt5\approx2.24$ 、 $4\sqrt5\approx8.94$ 、 $8.94-2.24\approx6.71\approx3\sqrt5$ ◎）
$2\sqrt7+5\sqrt7=(2+5)\sqrt7=7\sqrt7$ （確かめ：個数が $2+5=7$ 個になるだけ ◎）

やってみよう②（標準：簡単にしてからまとめる）

まず $a\sqrt b$ に直してから、同じ√どうしをまとめましょう。

$\sqrt{18}+\sqrt2$
$\sqrt{27}-\sqrt{12}$

答えと解説を見る

$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt2$ 。よって $3\sqrt2+\sqrt2=4\sqrt2$ （確かめ： $(4\sqrt2)^2=16\times2=32$ 、 $\sqrt{18}\approx4.24$ 、 $+\sqrt2\approx1.41$ で計 $5.66\approx4\sqrt2$ ◎）
$\sqrt{27}=3\sqrt3,\ \sqrt{12}=2\sqrt3$ 。よって $3\sqrt3-2\sqrt3=\sqrt3$ （確かめ： $\sqrt{27}\approx5.20$ 、 $\sqrt{12}\approx3.46$ 、差 $\approx1.73\approx\sqrt3$ ◎）

やってみよう③（応用：有理化と加減の組み合わせ）

分母に√があれば有理化し、同じ√どうしをまとめましょう。

$\dfrac{2}{\sqrt3}$ を有理化
$\sqrt3+\dfrac{3}{\sqrt3}$ を計算

答えと解説を見る

分母・分子に $\sqrt3$ をかけて $\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ （確かめ： $\sqrt3\times\sqrt3=3$ で分母が整数になった ◎）
まず $\dfrac{3}{\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$ と有理化。よって $\sqrt3+\sqrt3=2\sqrt3$ （確かめ： $\dfrac{3}{\sqrt3}\approx\dfrac{3}{1.73}\approx1.73\approx\sqrt3$ ◎、合計 $\approx3.46\approx2\sqrt3$ ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

平方根は、面積や長さだけでなく**「データの散らばり」や「ななめの距離」**を数値にするときにも使われます。

標準偏差（統計）：テストの点や品質のばらつきを表す「標準偏差」は、分散の平方根（ $\sqrt{\text{分散}}$ ）。学校の偏差値や、工場の品質管理で日常的に使われている。
三平方の定理での距離：2点のななめの距離は $\sqrt{\,\text{横}^2+\text{縦}^2\,}$ で求める。地図アプリの直線距離やGPS、ロボットの移動計算の基礎。
理科・工学の公式：振り子の周期や、物が落ちる時間など、自然の現象を表す式に平方根がよく現れる。

平方根はここで終わりではなく、二次方程式・三平方の定理・高校の統計やベクトルへとつながっていきます。「ばらつき」や「距離」を数で表す、社会で長く使う考え方です。

家おうちの方へ

√の加減は「文字式の同類項」と同じだと結びつけると一気に理解できます（ $2\sqrt3+3\sqrt3$ は $2x+3x$ と同じ感覚）。つまずきの定番は $\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5$ 。実際の小数で確かめさせると「違う」と納得できます。有理化は「分母の√に同じ√をかけると整数になる」一点を押さえれば大丈夫です。

これで中3「平方根」は完全攻略です！平方根は二次方程式（解の公式・平方根の利用）や三平方の定理で必ず使います。あやしくなったら、いつでもこの図に戻ってきてください。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

たし算ひき算は同じ√どうしだけまとめる（ $2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$ ）。文字式と同じ。
$\sqrt2+\sqrt3$ はまとめられない（ $\sqrt5$ ではない）。
まず $a\sqrt b$ に簡単にしてからまとめる（ $\sqrt8+\sqrt2=2\sqrt2+\sqrt2=3\sqrt2$ ）。
有理化＝分母の√を消す：分母・分子に同じ√をかける（ $\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ ）。

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よくある質問

平方根（√）のたし算・ひき算はどうやって計算しますか？

同じ√どうしだけをまとめて、√の前の数（個数）をたし引きします。たとえば 2√3＋3√3＝5√3 です。文字式で 2x＋3x＝5x とまとめるのと同じ感覚で、ちがう√どうしは1つにまとめられません。

なぜ √2＋√3＝√5 にはならないの？

√2 と √3 はちがう種類の数で、種類がちがうものは1つにまとめられないからです。実際の小数で確かめると、√2は約1.41、√3は約1.73で和は約3.14ですが、√5は約2.24とまったくちがう値になります。文字式の x＋y を1つにまとめられないのと同じです。

√8＋√2 のように、見た目がちがう√はまとめられますか？

まず√の中を簡単にしてから確かめます。√8＝2√2 と直すと、どちらも√2の仲間になるので、2√2＋√2＝3√2 とまとめられます。加減の前に、必ず√を a√b の形に簡単にするのが手順です。

分母の有理化とは何ですか？やり方も教えてください。

分母に√があるとき、分母・分子に同じ√をかけて、分母を整数に直すことです。たとえば √2分の1（1/√2）は、分母・分子に√2をかけると分母が √2×√2＝2 になり、2分の√2（√2/2）になります。分母の√に同じ√をかけると整数になる、という一点がポイントです。

この単元でつまずいたとき、家庭でできること

根号をふくむ式の計算（a√bへの変形）に戻る
つまずきの原因は、たいてい1つ前の単元にあります。まずそこを確かめてください。
印刷して、手を動かす
読んでわかっても、手が動くとは限りません。無料のプリントを刷って、量をこなしてください。
説明役を、外部にまかせる
教える側が説明しきれないときは、無料体験のある外部のサービスで様子を見る方法もあります。

#平方根#有理化#加減#中3数学