y=ax² の変域（xの範囲→yの範囲）

Q: y＝ax²の変域（yの範囲）はどうやって求めますか？

必ずグラフをかいて、xの変域に0がふくまれるか（頂点を通るか）を確認してから求めます。a＞0でxの変域が0をふくむときは、yの最小は頂点の0、最大は0から遠いほうの端を代入した値です。たとえば y＝x² で −1≦x≦2 なら、yの変域は 0≦y≦4 になります。

Q: なぜxの変域に0をふくむと、yの最小が0になるの？

y＝ax²のグラフ（放物線）は、x＝0のときに頂点の y＝0 を通るからです。xの範囲が0をまたぐと、グラフは必ずいちばん下の頂点（a＞0のとき）を通るので、yの最小は端の値ではなく0になります。

Q: 変域は、xの両端の値を代入するだけではダメですか？

xの変域に0をふくむときはダメです。たとえば y＝x² で −1≦x≦2 を端だけ代入すると 1≦y≦4 になりますが、正解は 0≦y≦4 です。ただし 1≦x≦2 のように0をふくまないときは、端の値どうしで求めてかまいません。

Q: aが負（a＜0）のとき、変域はどう変わりますか？

グラフが下に開くので、xの変域に0をふくむときは、最小ではなく最大が頂点の0になります。たとえば y＝−x² で −1≦x≦2 なら、最大は0、最小はx＝2のときの−4で、変域は −4≦y≦0 です。

関数y=ax²の変域を、放物線の図でわかりやすく。xの変域に0をふくむときyの最小（最大）が頂点の0になる“落とし穴”を、グラフで確実に押さえます。

◎このページのゴール

xの変域からyの変域を、グラフをもとに正しく求められるようになる。

「 $-1\le x\le2$ のとき $y$ の変域は？」——端の値を代入して $1\le y\le4$ 、としたらまちがい。正解は $0\le y\le4$ 。なぜ0が入るのか、グラフを見れば一目でわかります。ここは超頻出の落とし穴です。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

変域って何？ → ここを見る
なぜ最小が0になるの？ → ここを見る
端を代入するだけではダメ？ → ここを見る
a<0 のときはどうなる？ → ここを見る

変域とは

変数のとりうる範囲を変域といいます。ここでは「 $x$ の変域」が決まっているとき、「 $y$ の変域」を求めます。

グラフで見る（落とし穴）

$y=x^2$ で $-1\le x\le2$ のとき。グラフをかくと、 $x=0$ で**いちばん下（頂点 $y=0$ ）**を通ります。だから $y$ の最小は端の値ではなく 0。最大は $x=2$ の $y=4$ 。

$-1\le x\le2 \;\Rightarrow\; 0\le y\le4$

セナ

端っこ（x=−1とx=2）だけ見ると、yは1から4だと思っちゃう…

ホクト先生

そこが落とし穴！ $x$ の範囲に0が入ると、放物線のいちばん下（頂点）を通る。だから最小は0。必ずグラフをかいて、頂点を通るか確認しよう。

端を代入するだけではダメ

✕よくある間違い

$-1\le x\le2$ で $y=x^2$ の変域を、端だけ代入して「 $1\le y\le4$ 」とするのはまちがい。 $x$ の範囲が0をまたぐので、最小は頂点の $0$ 。正解は $0\le y\le4$ 。
一方、 $1\le x\le2$ のように0をふくまないときは、端の値どうしで $1\le y\le4$ でOK。

✓理解チェック①

a が負（a＜0）のとき

$a<0$ （下に開く）では、0をふくむと最大が0（頂点が一番上）になります。例： $y=-x^2$ 、 $-1\le x\le2$ なら、最大は $0$ 、最小は $x=2$ の $y=-4$ 。よって $-4\le y\le0$ 。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：0をふくまない変域）

$x$ の変域に0をふくまないときは、両端を代入した値どうしが変域になります。

$y=x^2$ 、 $2\le x\le4$

答えと解説を見る

0をふくまない。 $x=2$ で $y=4$ 、 $x=4$ で $y=16$ 。よって $4\le y\le16$ （確かめ：この区間では $x$ が増えると $y$ も増え続けるので、最小は $x=2$ の $4$ 、最大は $x=4$ の $16$ ◎）

✏️ やってみよう②（標準：0をふくむ・aが負）

$x$ の変域が0をまたぐときは、最小（ $a<0$ なら最大）が頂点の0になります。必ずグラフをかいて確認しましょう。

$y=x^2$ 、 $-2\le x\le3$
$y=2x^2$ 、 $-1\le x\le2$
$y=-x^2$ 、 $-3\le x\le1$

答えと解説を見る

0をふくむ → 最小は頂点の0。最大は遠いほうの端 $x=3$ で $y=9$ （ $x=-2$ なら $4$ ）。よって $0\le y\le9$ （確かめ： $y(-2)=4,\ y(3)=9$ 、最小は頂点0 ◎）
0をふくむ → 最小0。最大は遠い端 $x=2$ で $y=2\times2^2=8$ （ $x=-1$ なら $2$ ）。よって $0\le y\le8$ （確かめ： $y(-1)=2,\ y(2)=8$ 、最小は頂点0 ◎）
下に開く・0をふくむ → 最大は頂点の0。最小は遠い端 $x=-3$ で $y=-(-3)^2=-9$ （ $x=1$ なら $-1$ ）。よって $-9\le y\le0$ （確かめ： $y(-3)=-9,\ y(1)=-1$ 、最大は頂点0 ◎）

✏️ やってみよう③（応用：落下距離の変域）

ものが落ちはじめてからの落下距離 $y$ （m）が、時間 $x$ （秒）について $y=5x^2$ で表せるとします。落ちはじめ（ $x=0$ ）から $4$ 秒間（ $0\le x\le4$ ）に、落下距離 $y$ がとる変域を求めなさい。

答えと解説を見る

$x$ の変域は $0\le x\le4$ で、はしに0をふくみます。 $a=5>0$ なので最小は頂点の $y=0$ （落ちはじめは距離0）。最大は $x=4$ で $y=5\times4^2=5\times16=80$ 。よって変域は $0\le y\le80$ 。落下距離は 0 m から 80 m まで（確かめ： $x=0$ で $y=0$ 、 $x=4$ で $y=5\times16=80$ 。落ちはじめが最小、4秒後が最大で正しい ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

変域は「動きや値がとりうる範囲（いちばん小さい〜いちばん大きい）」を求める力。安全や設計の場面で、最大・最小を見積もるのに役立ちます。

ふりこ・ブランコのふれ幅：いちばん下を通るときが最も速く・最も低い位置。動く範囲の「上限・下限」を考えるのは、変域と同じ見方です。
車の制動距離の見積もり：制動距離は速さのおよそ2乗に比例します。ある速さの範囲で「止まるまでに最大どれだけ進むか」を見積もり、車間距離や制限速度の目安に使われます。
噴水やジャンプの最高到達点：上に投げ上げた水やボールが届く高さの最大は、放物線の頂点。「どこまで届くか（最大値）」を求める考え方につながります。

高校の物理（投げ上げの最高点）や、関数の最大・最小を求める問題の土台になります。「とりうる範囲の上限・下限を正しくつかむ」力は、設計・安全・データ分析でずっと使います。

家おうちの方へ

変域は中3関数で最も差がつくポイントです。「端を代入するだけ」では間違える——必ずグラフをかいて、xの範囲が0をまたぐか（頂点を通るか）を確認させてください。0をまたぐなら最小（a＜0なら最大）は頂点の0、と図で結びつけると確実です。

これで中3「関数 y=ax²」は完全攻略です！グラフ・変化の割合・変域の3点を押さえれば、入試の関数問題に立ち向かえます。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

変域＝変数のとりうる範囲。xの変域からyの変域を求める。
必ずグラフをかいて考える（端だけ代入はNG）。
$a>0$ で x の変域が0をふくむと、yの最小は0（頂点）。
$a<0$ なら、0をふくむとyの最大が0。

よくある質問

y＝ax²の変域（yの範囲）はどうやって求めますか？

必ずグラフをかいて、xの変域に0がふくまれるか（頂点を通るか）を確認してから求めます。a＞0でxの変域が0をふくむときは、yの最小は頂点の0、最大は0から遠いほうの端を代入した値です。たとえば y＝x² で −1≦x≦2 なら、yの変域は 0≦y≦4 になります。

なぜxの変域に0をふくむと、yの最小が0になるの？

y＝ax²のグラフ（放物線）は、x＝0のときに頂点の y＝0 を通るからです。xの範囲が0をまたぐと、グラフは必ずいちばん下の頂点（a＞0のとき）を通るので、yの最小は端の値ではなく0になります。

変域は、xの両端の値を代入するだけではダメですか？

xの変域に0をふくむときはダメです。たとえば y＝x² で −1≦x≦2 を端だけ代入すると 1≦y≦4 になりますが、正解は 0≦y≦4 です。ただし 1≦x≦2 のように0をふくまないときは、端の値どうしで求めてかまいません。

aが負（a＜0）のとき、変域はどう変わりますか？

グラフが下に開くので、xの変域に0をふくむときは、最小ではなく最大が頂点の0になります。たとえば y＝−x² で −1≦x≦2 なら、最大は0、最小はx＝2のときの−4で、変域は −4≦y≦0 です。

#関数#変域#中3数学