中3「関数 y=ax²」をやさしく攻略
グラフが曲線（放物線）になる関数。一次関数（直線）との違いが、図で見るとスッと分かります。変化の割合や変域も、グラフをイメージすれば怖くありません。
◎この単元のゴール
y=ax²のグラフの特徴を理解し、変化の割合・変域を求められるようになる。
学ぶ順番（このとおり進めばOK）
つまずき診断：どこで止まっていますか
この単元のつまずきは、一次関数と同じやり方で解こうとしてしまうことから起きます。直線ではなく曲線なので、変域と変化の割合の扱いが根本的に変わります。
- グラフが直線になってしまう → y＝ax² のグラフは放物線（曲線）です。点をたくさん取ってなめらかにつなぎます。関数 y＝ax² とはへ。
- 変域で、端を代入して終わってしまう → いちばん多いミスです。x の範囲に0が入ると、最小値は端ではなく頂点の0になります。変域へ。
- 変化の割合が一定だと思っている → 一次関数とちがい、y＝ax² の変化の割合は区間によって変わります。毎回計算する必要があります。変化の割合へ。
- a が負のときのグラフが描けない → 上に開いていた放物線が、下に開く形にひっくり返ります。頂点が最大値になります。
- 比例定数 a の求め方がわからない → 通る1点の x と y を代入するだけです。a＝y÷x² で求まります。
中1の比例からの、まっすぐな続き
y＝ax² は、中1で習った比例 y＝ax の x が2乗になっただけの形です。関数の学習はここで一区切りとなり、高校の二次関数へつながります。
比例定数・座標・グラフの基礎。あやしいならまずここへ戻ります。
中2 一次関数 →「変化の割合が一定」なのは一次関数だけ。ここと比べると差が見えます。
中3 二次方程式 →グラフと x 軸の交点は、二次方程式の解と同じものです。
中3 平方根 →y から x を求めるとき、√が出てきます。±を忘れないこと。
よくある質問
なぜ変域で、端を代入するだけではダメなの？
放物線には頂点があるからです。一次関数は右上がりか右下がりの直線なので、端がそのまま最大・最小になります。ところが y＝x² のグラフは x＝0 でいちばん下（頂点）を通るため、x の範囲が0をまたぐと最小値は端ではなく0になります。たとえば −1≦x≦2 なら、端だけ見ると1から4に見えますが、正解は 0≦y≦4 です。範囲に0が入るかどうかを必ず確認してください。
変化の割合は、どうやって求める？
y の増加量 ÷ x の増加量 で求めます。これは一次関数と同じ計算です。ちがうのは、区間ごとに答えが変わる点です。y＝x² で x が1から2まで変わるときは (4−1)÷(2−1)＝3、2から3までなら (9−4)÷(3−2)＝5 となります。一次関数のように「傾き＝変化の割合」で一発では出せないので、毎回2点の値を出して計算します。
y＝ax² は、身のまわりのどこで使われている？
物の落ち方や、ボールを投げたときの軌道がこの形になります。また車の制動距離（ブレーキを踏んでから止まるまでの距離）も速さの2乗にほぼ比例するため、速さが2倍になると止まるまでの距離は約4倍になります。速度を出しすぎると急に危険が増える理由がこの関数で説明できます。パラボラアンテナの断面も放物線で、電波を1点に集める性質を利用しています。
☺おうちの方へ
中3のこの単元は、一次関数までは得意だった子が急につまずくことがあります。原因はほぼ「変化の割合が一定ではない」ことに気づいていないためです。
確認のしかたは簡単で、「x が1から2のときと、2から3のときで、変化の割合は同じ？」と聞いてみてください。「同じ」と答えたら、そこがつまずきの正体です。グラフをかいて、傾きがだんだん急になっていくことを目で見せると納得しやすくなります。
つまずいたら、ここに戻ろう
- 比例・座標・グラフの基礎 — 中1「比例と反比例」
- 変化の割合の考え方 — 中2「一次関数」
- 平方根（変化の割合などで√が出ることがある） — 平方根