関数 y=ax² とは？（放物線のグラフ）

Q: 関数 y＝ax²（yはxの2乗）とは何ですか？

関数 y＝ax²（yはaかけるxの2乗）とは、y が x の2乗に比例する関数のことです（a は比例定数）。x を2倍すると y は4倍、x を3倍すると y は9倍になります。グラフは直線ではなく、「放物線」と呼ばれる曲線になります。

Q: 放物線のグラフには、どんな特徴がありますか？

y＝ax² のグラフ（放物線）の特徴は3つです。①原点(0, 0)を通る、②y軸について左右対称、③いちばん下（または上）の点を頂点といい、y＝ax² では原点が頂点になります。x＝2 でも x＝−2 でも y の値が同じになるのが、左右対称の証拠です。

Q: a の符号や大きさで、グラフはどう変わりますか？

a が正（a＞0）なら上に開き、a が負（a＜0）なら下に開きます。また、a の絶対値が大きいほど、グラフの開きはせまく（細く）なります。たとえば y＝2x² は、y＝x² より細い放物線です。

Q: y＝ax² と一次関数のちがいは何ですか？

一次関数 y＝ax＋b のグラフはまっすぐな直線ですが、y＝ax² のグラフは放物線という曲線になります。また、一次関数の変化の割合はいつも一定なのに対し、y＝ax² の変化の割合は一定ではありません。この2つのちがいを押さえると、式とグラフを結びつけやすくなります。

Q: なぜ y＝ax² のグラフは左右対称になるの？

x を2乗すると、正の数でも負の数でも同じ値になるからです。たとえば y＝x²（yはxの2乗）では、x＝2 でも x＝−2 でも y＝4 になります。x の符号だけがちがうペアで y の値がいつも等しいので、グラフはy軸で折り返した左右対称の形（放物線）になります。

Q: 放物線は、身のまわりのどこで見られますか？

ななめ上に投げたボールや、噴水の水がえがく通り道は放物線です。アーチ橋やつり橋のケーブルも放物線に近い形で、力をうまく分散させています。また「パラボラ」は放物線のことで、電波や光を1点に集める性質が衛星アンテナや反射式のライトに使われています。

関数y=ax²の意味とグラフ（放物線）の特徴を、図でわかりやすく解説。原点を通る・y軸対称・aの符号で開く向きが変わる、などをグラフで直感的につかめます。

◎このページのゴール

y=ax²のグラフ（放物線）の特徴を理解し、式とグラフを結びつけられるようになる。

$y=ax^2$ は、グラフが**曲線（放物線）**になる関数。直線だった一次関数とはここが大ちがい。まずはグラフの形と特徴を、図でしっかりつかみましょう。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

y=ax² がどんな関数か知りたい → ここを見る
グラフの形・特徴を知りたい → ここを見る
a の符号で何が変わる？ → ここを見る
表からグラフをかきたい → ここを見る

y=ax² とは

$y$ が $x$ の2乗に比例する関数を $y=ax^2$ と書きます（ $a$ は比例定数）。 $x$ を2倍すると $y$ は4倍、3倍すると9倍に増えます。

グラフは放物線

$y=x^2$ のグラフをかくと、次のようなおわん型の曲線（放物線）になります。

✓コツ

放物線の特徴：
① 原点 $(0,0)$ を通る ② y軸について左右対称 ③ いちばん下（または上）の点を頂点という（ $y=ax^2$ では原点が頂点）。

a の符号と大きさ

$a$ の符号で、開く向きが変わります。

→やり方

$a>0$ → 上に開く（下に凸）
$a<0$ → 下に開く（上に凸）
$a$ の絶対値が大きいほど、開きが**せまく（細く）**なる

セナ

a が大きいほど、グラフが細くとがっていくんだね。

ホクト先生

そう。 $y=2x^2$ は $y=x^2$ より細い。 $a$ の符号で「上向き・下向き」、絶対値で「細い・太い」が決まる、と覚えよう。

✓理解チェック①

表からグラフへ

$y=x^2$ の値を表にすると、左右で同じ値が並びます（対称の証拠）。

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

$x=2$ でも $x=-2$ でも $y=4$ 。だからグラフはy軸で折り返した形（左右対称）になります。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：式に値を代入する）

$y=ax^2$ に $x$ の値を代入して、 $y$ を求めましょう。2乗の符号に注意。

$y=x^2$ で、 $x=4$ のときの $y$ は？
$y=-x^2$ で、 $x=-2$ のときの $y$ は？

答えと解説を見る

$y=4^2=16$ （確かめ： $4\times4=16$ ◎）
$y=-(-2)^2=-4$ （確かめ： $(-2)^2=4$ で正、それに $-$ がついて $-4$ ◎）

✏️ やってみよう②（標準：グラフの向きと太さを読む）

$a$ の符号と絶対値から、グラフの特徴を答えましょう。

$y=3x^2$ と $y=\dfrac12x^2$ では、どちらのグラフが細い？
$y=ax^2$ のグラフが下に開くのは、 $a$ がどんなとき？

答えと解説を見る

$a$ の絶対値が大きい $y=3x^2$ のほうが細い（ $|3|>\left|\dfrac12\right|$ だから）
$a<0$ （負）のとき下に開く（上に開くのは $a>0$ ）

✏️ やってみよう③（応用：落下のようすを式で表す）

ものが落ちはじめてからの落下距離 $y$ （m）は、落ちた時間 $x$ （秒）の2乗に比例し、 $y=5x^2$ で表せるものとします。

落ちはじめてから $2$ 秒間で、何m落ちますか。
$3$ 秒間では何m落ちますか。また $1$ 秒間（ $5$ m）とくらべて何倍ですか。

答えと解説を見る

$y=5\times2^2=5\times4=20$ （20 m）（確かめ： $x=2$ を代入 $5\times4=20$ ◎）
$y=5\times3^2=5\times9=45$ （45 m）。 $1$ 秒間は $5\times1^2=5$ m なので $45\div5=9$ 倍。時間が $3$ 倍になると距離は $3^2=9$ 倍で、たしかに2乗に比例しています（確かめ： $x=3$ を代入 $5\times9=45$ ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

放物線（ $y=ax^2$ の形）は、自然や身のまわりの「ものの動き・形」にたくさん現れます。

ボールや噴水の通り道：ななめ上に投げたボールや、噴水の水が落ちるまでにえがく線は放物線。スポーツのシュートやパスの軌道を考えるときに役立ちます。
橋やつり橋の形：アーチ橋やつり橋のケーブルは、放物線に近い形でつくられます。建築や土木では、この曲線で力をうまく分散させています。
パラボラアンテナ・ライト：「パラボラ」は放物線のこと。電波や光を1点（焦点）に集める性質を使い、衛星アンテナ・反射式の懐中電灯・太陽光を集める鏡などに使われます。

この先、高校の物理（ものを投げたときの運動）や、放物線が出てくる入試問題の土台になります。「2乗に比例する動き」を式とグラフで読める力は、理系の学びでずっと使います。

家おうちの方へ

y=ax²は「グラフの形」を最初にイメージできるかがカギです。原点を通る・y軸対称・aの符号で向き・絶対値で太さ、を図で結びつけてください。つまずきの定番は $(-3)^2$ を $-9$ とするミス。2乗は必ず正、を確認させましょう。

グラフの形がわかったら、次は y=ax² の変化の割合です。一次関数とちがい一定ではない、という点がポイントです。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

$y=ax^2$ は「 $y$ が $x$ の2乗に比例」する関数。
グラフは放物線。原点を通り、y軸について左右対称。
$a>0$ で上に開く、 $a<0$ で下に開く。
$a$ の絶対値が大きいほど、開きがせまく（細く）なる。

よくある質問

関数 y＝ax²（yはxの2乗）とは何ですか？

関数 y＝ax²（yはaかけるxの2乗）とは、y が x の2乗に比例する関数のことです（a は比例定数）。x を2倍すると y は4倍、x を3倍すると y は9倍になります。グラフは直線ではなく、「放物線」と呼ばれる曲線になります。

放物線のグラフには、どんな特徴がありますか？

y＝ax² のグラフ（放物線）の特徴は3つです。①原点(0, 0)を通る、②y軸について左右対称、③いちばん下（または上）の点を頂点といい、y＝ax² では原点が頂点になります。x＝2 でも x＝−2 でも y の値が同じになるのが、左右対称の証拠です。

a の符号や大きさで、グラフはどう変わりますか？

a が正（a＞0）なら上に開き、a が負（a＜0）なら下に開きます。また、a の絶対値が大きいほど、グラフの開きはせまく（細く）なります。たとえば y＝2x² は、y＝x² より細い放物線です。

y＝ax² と一次関数のちがいは何ですか？

一次関数 y＝ax＋b のグラフはまっすぐな直線ですが、y＝ax² のグラフは放物線という曲線になります。また、一次関数の変化の割合はいつも一定なのに対し、y＝ax² の変化の割合は一定ではありません。この2つのちがいを押さえると、式とグラフを結びつけやすくなります。

なぜ y＝ax² のグラフは左右対称になるの？

x を2乗すると、正の数でも負の数でも同じ値になるからです。たとえば y＝x²（yはxの2乗）では、x＝2 でも x＝−2 でも y＝4 になります。x の符号だけがちがうペアで y の値がいつも等しいので、グラフはy軸で折り返した左右対称の形（放物線）になります。

放物線は、身のまわりのどこで見られますか？

ななめ上に投げたボールや、噴水の水がえがく通り道は放物線です。アーチ橋やつり橋のケーブルも放物線に近い形で、力をうまく分散させています。また「パラボラ」は放物線のことで、電波や光を1点に集める性質が衛星アンテナや反射式のライトに使われています。

#関数#二乗に比例#放物線#中3数学