三平方の定理の応用（特別な三角形・対角線・座標）

中3「三平方の定理」の応用を図でやさしく解説。45°の直角二等辺三角形（1:1:√2）と30°60°の直角三角形（1:2:√3）の辺の比の使い方から、正方形や長方形の対角線の長さ、座標上の2点間の距離の求め方まで、入試頻出の解き方がまとめて身につきます。

先に答え

よく出る特別な直角三角形は $2$ つで、直角二等辺三角形（ $45^{\circ}$ ）の辺の比は $1:1:\sqrt2$ 、 $30^{\circ}$ ・ $60^{\circ}$ の直角三角形の辺の比は $1:2:\sqrt3$ です。正方形の対角線＝一辺 $\times\sqrt2$ なので一辺 $5$ cmなら $5\sqrt2$ cm、長方形はたて $^2$ ＋よこ $^2$ の平方根。座標平面の $2$ 点間の距離も、 $x$ と $y$ の差を $2$ 辺とみて同じ式で求まります。

◎このページのゴール

特別な直角三角形の比・対角線・2点間の距離を、三平方の定理を使って求められるようになる。

三平方の定理は図形問題の主役。とくに2種類の特別な直角三角形の辺の比を覚えると、計算がぐっと速くなります。対角線や座標の距離にも応用できます。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

45°・30°60°の辺の比を知りたい → ここを見る
正方形・長方形の対角線 → ここを見る
座標上の2点間の距離 → ここを見る
比の使い方が分からない → ここを見る

覚えると速い：特別な直角三角形

45°の直角二等辺三角形 → $1:1:\sqrt2$ 。一辺 $a$ なら斜辺 $a\sqrt2$ 。
30°・60°の直角三角形 → $1:2:\sqrt3$ （短い辺：斜辺：長い辺）。

✓理解チェック1

45°の直角二等辺三角形の3辺の比は？

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答え： $1:1:\sqrt2$

45°の直角二等辺三角形は、等しい2辺と斜辺の比が $1:1:\sqrt2$ 。一辺 $a$ なら斜辺は $a\sqrt2$ です。 $1:2:\sqrt3$ は30°・60°の三角形の比です。

✓理解チェック2

30°・60°の直角三角形で、いちばん短い辺が

3

のとき、斜辺は？

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答え： $6$

比は $1:2:\sqrt3$ （短い辺：斜辺：長い辺）。斜辺は短い辺の2倍なので $3\times2=6$ です。 $3\sqrt3$ は長いほうの辺の長さです。

✓理解チェック3

30°・60°の直角三角形で、いちばん短い辺が

4

のとき、斜辺ではないほうの長い辺（60°の向かい）は？

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答え： $4\sqrt3$

比は $1:2:\sqrt3$ （短い辺：斜辺：長い辺）。長いほうの辺は短い辺の $\sqrt3$ 倍なので $4\sqrt3$ です。 $8$ は斜辺（短い辺の2倍）で、混同しやすいので注意。

対角線の長さ

正方形（一辺 $a$ ）の対角線は、45°の三角形ができるので $a\sqrt2$ 。
長方形（縦 $b$ ・横 $a$ ）の対角線は $\sqrt{a^2+b^2}$ 。

例：一辺5の正方形の対角線 → $5\sqrt2$ 。縦3・横4の長方形の対角線 → $\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。

セナ

正方形の対角線って、いつも√2倍なんだ！

ホクト先生

そう、一辺×√2。45°の三角形（1:1:√2）が見えるからね。比を覚えておくと、いちいち計算しなくても答えが出るよ。

✓理解チェック4

一辺が 6 の正方形の対角線の長さは？

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答え： $6\sqrt2$

正方形の対角線は一辺×√2。 $6\times\sqrt2=6\sqrt2$ です（1:1:√2 の比）。

✓理解チェック5

縦

6

・横

8

の長方形の対角線の長さは？

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答え： $10$

対角線を引くと、縦と横を2辺とする直角三角形ができるので $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ 。縦と横をたして $14$ とするのが定番のミスです（3:4:5 を2倍した 6:8:10 の組）。

座標上の2点間の距離

2点の横の差と縦の差を2辺とする直角三角形を作れば、その斜辺が距離です。

\text{距離}=\sqrt{(\text{横の差})^2+(\text{縦の差})^2}

例： $P(1,2)$ と $Q(4,6)$ の距離は、横の差 $4-1=3$ 、縦の差 $6-2=4$ なので、

\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5

✓理解チェック6

座標上の2点の距離を求めるとき、最初にすることは？

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答え：2点の横の差と縦の差を求め、それを2辺とする直角三角形を作る

横の差と縦の差を直角をはさむ2辺にすると、求めたい距離がその斜辺になります。あとは三平方の定理で $\sqrt{(\text{横の差})^2+(\text{縦の差})^2}$ 。差をそのままたすのではなく、2乗してからたすのがポイントです。

まとめ

✓コツ

特別な比（1:1:√2／1:2:√3）を覚えておくと、対角線や図形問題が速く解けます。座標の距離は「横の差・縦の差で直角三角形を作る」と覚えればOK。すべて $a^2+b^2=c^2$ の応用です。

✓理解チェック7

P(0,0)

と

Q(6,8)

の距離は？

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答え： $10$

横の差6、縦の差8。 $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ です。

やってみよう（練習問題）

やってみよう①（基本：対角線を求める）

正方形・長方形の対角線を求めましょう。

一辺が $4$ の正方形の対角線は？
縦 $5$ ・横 $12$ の長方形の対角線は？

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正方形の対角線は一辺×√2 → $4\sqrt2$ （確かめ： $4^2+4^2=16+16=32$ 、 $(4\sqrt2)^2=16\times2=32$ で一致 ◎。1:1:√2 の比）
$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ （確かめ： $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ ◎。5:12:13 の組）

やってみよう②（標準：特別な比・座標の距離）

特別な直角三角形の比と、座標の2点間の距離を使いましょう。

45°の直角二等辺三角形で、斜辺が $\sqrt2$ のとき、他の辺は？
$A(2,1)$ と $B(5,5)$ の距離は？

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比 $1:1:\sqrt2$ で斜辺が $\sqrt2$ → 他の辺は $1$ （確かめ： $1^2+1^2=2=(\sqrt2)^2$ ◎）
横の差 $5-2=3$ 、縦の差 $5-1=4$ → $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ （確かめ： $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ ◎。3:4:5 の組）

やってみよう③（応用：直方体の対角線）

空間でも、直角三角形を2回作れば三平方の定理が使えます。

たて $3$ 、横 $4$ 、高さ $12$ の直方体がある。向かい合う頂点を結ぶ対角線の長さを求めなさい。（ヒント：まず底面の対角線を求め、それと高さで直角三角形を作る）

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まず底面（たて $3$ ・横 $4$ の長方形）の対角線を求める： $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ 。次に、この底面の対角線 $5$ と高さ $12$ を2辺とする直角三角形の斜辺が、直方体の対角線： $\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ 。対角線は $13$ （確かめ：1回目は 3:4:5、2回目は 5:12:13 の組。まとめると $3^2+4^2+12^2=9+16+144=169=13^2$ ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

「横の差・縦の差から斜めの距離を出す」「対角線を求める」考え方は、地図・画面・空間の長さを扱う場面でそのまま使われています。

ナビ・GPSの直線距離：地図上の2地点の東西の差・南北の差から、 $\sqrt{\text{東西}^2+\text{南北}^2}$ で「直線でおよそ◯km」を計算する。最短ルートや配達範囲の見積もりの基礎。
野球・スポーツの距離：野球の塁はひと辺 $27.4$ m の正方形に並ぶ。本塁から二塁への送球は対角線で $27.4\sqrt2\approx38.8$ m——守備やフォーメーションの距離感はこの計算で見える。
測量・建築・3Dゲーム：土地の対角線や建物の高さの測量、部屋に入る家具の対角寸法、3D空間でのキャラ同士の距離（座標差から計算）など、平面・空間の距離はすべてこの定理が土台。

高校で学ぶ「2点間の距離の公式」「ベクトルの大きさ」、理系の物理や情報（コンピュータグラフィックス）にまっすぐつながる、応用範囲の広い定理です。

家おうちの方へ

特別な直角三角形の比（1:1:√2／1:2:√3）は、覚えておくと入試で大きな時短になります。図とセットで「45°なら√2、30°60°なら√3」と結びつけて記憶させてください。座標の距離は「2点から直角三角形を作る」と図で見せると、公式の丸暗記になりません。

これで中3「三平方の定理」は完全攻略です！図形・関数・空間の問題で一生使う、強力な道具です。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

直角二等辺三角形（45°）の辺の比は 1:1:√2。
30°・60°の直角三角形の辺の比は 1:2:√3。
正方形の対角線＝一辺 ×√2。長方形の対角線＝ $\sqrt{\text{縦}^2+\text{横}^2}$ 。
座標の2点間の距離＝ $\sqrt{(\text{横の差})^2+(\text{縦の差})^2}$ 。

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よくある質問

特別な直角三角形の辺の比は何ですか？

45°の直角二等辺三角形は 1:1:√2、30°・60°の直角三角形は 1:2:√3（短い辺：斜辺：長い辺）です。この2つの比を覚えると、一辺aの正方形の対角線が a×√2 と一瞬で出るなど、対角線や図形問題がいちいち計算せずに速く解けます。

なぜ正方形の対角線は、いつも一辺の√2倍になるの？

対角線を引くと、正方形の中に45°の直角二等辺三角形ができるからです。この三角形の辺の比は必ず 1:1:√2 なので、斜辺にあたる対角線は一辺×√2 になります。たとえば一辺5の正方形なら対角線は 5√2 です。

座標の上の2点間の距離は、どう求めますか？

2点の横の差と縦の差を2辺とする直角三角形を作ると、その斜辺が距離になります。距離＝√（(横の差)²＋(縦の差)²）です。たとえば P(1, 2) と Q(4, 6) なら、横の差3・縦の差4で、√(3²＋4²)＝√25＝5 と求められます。

長方形の対角線は、どう計算しますか？

縦b・横aの長方形の対角線は √(a²＋b²) です。対角線を引くと、縦と横を2辺とする直角三角形ができるので、三平方の定理がそのまま使えます。たとえば縦3・横4の長方形なら、対角線は √(3²＋4²)＝5 になります。

この単元でつまずいたとき、家庭でできること

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説明役を、外部にまかせる
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#三平方の定理#特別な直角三角形#座標#中3数学