三平方の定理の応用（特別な三角形・対角線・座標）

三平方の定理の応用を図でわかりやすく。45°・30°60°の特別な直角三角形の辺の比、正方形や長方形の対角線、座標上の2点間の距離まで、入試頻出をまとめて解説します。

三平方の定理は図形問題の主役。とくに2種類の特別な直角三角形の辺の比を覚えると、計算がぐっと速くなります。対角線や座標の距離にも応用できます。

覚えると速い：特別な直角三角形

• 45°の直角二等辺三角形 → $1:1:\sqrt2$。一辺 $a$ なら斜辺 $a\sqrt2$。
• 30°・60°の直角三角形 → $1:2:\sqrt3$（短い辺：斜辺：長い辺）。

対角線の長さ

• 正方形（一辺 $a$）の対角線は、45°の三角形ができるので $a\sqrt2$。
• 長方形（縦 $b$・横 $a$）の対角線は $\sqrt{a^2+b^2}$。

例：一辺5の正方形の対角線 → $5\sqrt2$。縦3・横4の長方形の対角線 → $\sqrt{3^2+4^2}=5$。

セナ

正方形の対角線って、いつも√2倍なんだ！

ホクト先生

そう、一辺×√2。45°の三角形（1:1:√2）が見えるからね。比を覚えておくと、いちいち計算しなくても答えが出るよ。

座標上の2点間の距離

2点の横の差と縦の差を2辺とする直角三角形を作れば、その斜辺が距離です。

$\text{距離}=\sqrt{(\text{横の差})^2+(\text{縦の差})^2}$

例：$P(1,2)$ と $Q(4,6)$ の距離は、横の差 $4-1=3$、縦の差 $6-2=4$ なので、

$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

まとめ

やってみよう（練習問題）

これで中3「三平方の定理」は完全攻略です！ 図形・関数・空間の問題で一生使う、強力な道具です。