三平方の定理で辺の長さを求める

三平方の定理a²＋b²＝c²を使って、直角三角形の斜辺や残りの辺の長さを求める中3数学の単元。求める辺が斜辺なら2辺の2乗をたし、そうでなければ引くという使い分けと、答えの√をa√bの形に簡単にする方法まで図でわかります。三平方の定理を使って、斜辺・他の辺の長さを求められるようになる。

先に答え

三平方の定理は $a^2+b^2=c^2$ （ $c$ は斜辺）で、斜辺を求めるなら $c=\sqrt{a^2+b^2}$ （ $2$ 辺をたす）、他の辺を求めるなら $a=\sqrt{c^2-b^2}$ （斜辺の $2$ 乗から引く）と使い分けます。 $3$ と $4$ から斜辺なら $\sqrt{9+16}=5$ 、斜辺 $13$ と $5$ から他の辺なら $\sqrt{169-25}=12$ 。どの辺が斜辺かを最初に決めるのが第一歩です。

◎このページのゴール

三平方の定理を使って、斜辺・他の辺の長さを求められるようになる。

三平方の定理 $a^2+b^2=c^2$ を使えば、2辺がわかれば残り1辺が求まります。ポイントは「求めるのが斜辺か、そうでないか」。斜辺ならたす、それ以外なら引く——図で確認しましょう。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

斜辺の求め方 → ここを見る
斜辺でない辺の求め方 → ここを見る
たす・引くの使い分け → ここを見る
答えの√が整理できない → ここを見る

斜辺を求める（たす）

直角をはさむ2辺 $a,b$ がわかっているとき、

c=\sqrt{a^2+b^2}

例： $a=1,\ b=2$ → $c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$

✓理解チェック1

直角をはさむ2辺が 3 と 4 の直角三角形。斜辺は？

答えと解説を見る

答え： $5$

斜辺なのでたす： $c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ です。 $(3+4)^2=49$ としないよう、先にそれぞれを2乗してからたします。

斜辺でない辺を求める（引く）

斜辺 $c$ と1辺 $b$ がわかっているとき、 $a^2=c^2-b^2$ なので、

a=\sqrt{c^2-b^2}

下の三角形で、斜辺5・1辺3から、残りの辺を求めます。

a=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4

セナ

斜辺のときは＋、それ以外のときは−なんだね。

ホクト先生

そう。いつでも $a^2+b^2=c^2$ から出発して、求めたい辺について解けば自然にそうなる。迷ったらまずこの式を書こう。

✓理解チェック2

斜辺が 10、1辺が 8 の直角三角形。残りの辺は？

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答え： $6$

斜辺でない辺なので引く： $\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$ です。たしてしまうと $\sqrt{164}$ になってしまいます。

たす・引くの使い分け

✓コツ

求めるのが斜辺（最長・直角の向かい） → $c=\sqrt{a^2+b^2}$ （たす）
求めるのがそれ以外の辺 → $\sqrt{(\text{斜辺})^2-(\text{他の辺})^2}$ （引く）

いつも $a^2+b^2=c^2$ を書いて、求める辺について変形すれば間違えません。

✓理解チェック3

斜辺が 13、1辺が 5 の直角三角形。残りの辺は？

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答え： $12$

斜辺でない辺なので引く： $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ です。

✓理解チェック4

三平方の定理で、2辺の2乗を「たす」のはどんなとき？

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答え：求める辺が斜辺のとき

斜辺 $c$ を求めるときは $c=\sqrt{a^2+b^2}$ でたします。斜辺がわかっていて他の辺を求めるときは、斜辺の2乗から引きます。

答えの√は簡単にする

c=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2

辺の長さに√が出たら、 $a\sqrt b$ の形まで簡単にして答えます。

✓理解チェック5

直角をはさむ2辺が 2 と 4。斜辺は？

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答え： $2\sqrt5$

$c=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt5$ です。

✓理解チェック6

直角をはさむ2辺がどちらも 3 の直角三角形。斜辺をできるだけ簡単な形で表すと？

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答え： $3\sqrt2$

$c=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt2$ です。√の中の平方数 9 を外に出します。

やってみよう（練習問題）

やってみよう①（基本：斜辺を求める・たす）

直角をはさむ2辺がわかっています。斜辺を求めましょう。

直角をはさむ2辺が $9,\ 12$ → 斜辺は？
斜辺 $10$ 、1辺 $6$ → 残りの辺は？

答えと解説を見る

斜辺なのでたす： $\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ （確かめ： $9^2+12^2=81+144=225=15^2$ ◎。3:4:5 を3倍した 9:12:15）
斜辺でない辺なので引く： $\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$ （確かめ： $6^2+8^2=36+64=100=10^2$ ◎。6:8:10 の組）

やってみよう②（標準：√が残る・簡単化する）

答えに√が残るときは $a\sqrt{b}$ の形まで簡単にします。

直角をはさむ2辺が $1,\ 3$ → 斜辺は？
斜辺 $\sqrt{13}$ 、1辺 $2$ → 残りの辺は？

答えと解説を見る

斜辺なのでたす： $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ （確かめ： $1^2+3^2=1+9=10=(\sqrt{10})^2$ ◎。 $10=2\times5$ で平方数の因数がないのでこれ以上簡単にできません）
斜辺でない辺なので引く： $\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=\sqrt{9}=3$ （確かめ： $2^2+3^2=4+9=13=(\sqrt{13})^2$ ◎）

やってみよう③（応用：二等辺三角形の高さを求める）

直角でない三角形でも、高さの線を引くと直角三角形ができて三平方の定理が使えます。

底辺 $6$ 、等しい2辺がどちらも $5$ の二等辺三角形がある。頂点から底辺へまっすぐ下ろした高さを求めなさい。（高さの線は底辺をちょうど半分に分けます）

答えと解説を見る

高さの線が底辺を半分にするので、底辺の半分は $6\div2=3$ 。できる直角三角形は、斜辺が $5$ （等しい辺）、1辺が $3$ （底辺の半分）。高さ $h$ は斜辺でない辺なので引く： $h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ 。高さは $4$ （確かめ： $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ ◎。3:4:5 の組）

💡これ、社会のどこで役立つの？

辺を求める力は、「たて・よこはわかるけれど、斜めの長さは直接測りにくい」場面で役立ちます。

テレビ・モニター選び：「◯インチ」は画面の対角線の長さ。よこ・たての寸法から $\sqrt{\text{よこ}^2+\text{たて}^2}$ で対角線が出るので、買う前に置ける大きさかを確かめられる。
建築・DIYの直角確認：床や柱を組むとき、たて・よこと対角線の長さが $a^2+b^2=c^2$ に合えば「ちょうど直角」とわかる。3:4:5 を使うのが大工さんの定番。
斜面・スロープの長さ：高さと水平距離から、坂やスロープの実際の長さ（斜辺）を $\sqrt{\text{高さ}^2+\text{水平}^2}$ で見積もる——手すりやレールの材料の長さを発注できる。

土木・建築・製造・ゲーム制作（キャラの移動距離）など、「斜めの長さ」を扱う仕事の土台です。次の応用では、対角線や座標の距離にこの力を広げます。

家おうちの方へ

「斜辺はたす・他の辺は引く」は、結局 $a^2+b^2=c^2$ を求める辺について解いているだけです。最初は必ずこの式を書かせ、どれが斜辺かを確認してから代入させると、たす・引くの取り違えがなくなります。答えの√を簡単にするのも忘れずに。

最後は、この定理が大活躍する平面・空間への応用（対角線・特別な直角三角形・座標）です。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

斜辺を求める： $c=\sqrt{a^2+b^2}$ （2辺をたす）。
他の辺を求める： $a=\sqrt{c^2-b^2}$ （斜辺²から引く）。
出た√はできるだけ簡単に（ $\sqrt{8}=2\sqrt2$ ）。
求める辺が斜辺かどうかで「たす／引く」が変わる。

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よくある質問

三平方の定理で辺の長さを求めるには、どう計算しますか？

求める辺が斜辺なら c＝√(a²＋b²) と2辺の2乗をたし、斜辺でない辺なら √（斜辺の2乗−他の辺の2乗）と引きます。たとえば直角をはさむ2辺が1と2なら斜辺は √(1²＋2²)＝√5、斜辺5と1辺3なら残りの辺は √(25−9)＝√16＝4 です。

なぜ斜辺のときは「たす」、他の辺のときは「引く」の？

どちらも同じ式 a²＋b²＝c² から出発して、求めたい辺について解いているだけだからです。斜辺cを求めるなら c²＝a²＋b² なのでたし算、他の辺aを求めるなら移項して a²＝c²−b² になるので引き算です。迷ったら、まず a²＋b²＝c² を書いて、どの辺が斜辺かを確認しましょう。

答えに√が残ったら、どうすればいいですか？

a√b の形まで、できるだけ簡単にして答えます。たとえば √8 は √(4×2)＝2√2 と直します。√10 のように、√の中に平方数（4や9など）の因数がないときは、そのままで答えになります。

斜辺とは、どの辺のことですか？

直角の向かい側にある、いちばん長い辺のことです。三平方の定理 a²＋b²＝c² の c にあたる辺で、求める辺が斜辺かどうかで「たす・引く」が変わります。代入の前に、どの辺が斜辺かを必ず確認するのがミスを防ぐコツです。

この単元でつまずいたとき、家庭でできること

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説明役を、外部にまかせる
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#三平方の定理#辺の長さ#中3数学