中3「三平方の定理」をやさしく攻略
直角三角形の3辺をむすぶ魔法の式 a²＋b²＝c²。図形問題の最強の武器です。「3辺にかいた正方形の面積」で見れば、丸暗記ではなく“なるほど”で身につきます。
◎この単元のゴール
三平方の定理の意味を理解し、辺の長さ・対角線・2点間の距離を求められるようになる。
学ぶ順番（このとおり進めばOK）
つまずき診断：どこで止まっていますか
三平方の定理のつまずきは、定理そのものより斜辺の見きわめと√の計算に集まります。
- どの辺が c（斜辺）か分からない → 斜辺は直角の向かい側のいちばん長い辺です。図が回転していると迷いやすいので、まず直角に印をつけてから対岸を探します。三平方の定理とはへ。
- なぜ a²＋b²＝c² になるのか、丸暗記のまま → 同じ正方形を2通りに分ける証明を図で載せています。忘れても自分で作り直せるようになります。
- √52 のような答えをそのまま書いてしまう → 2√13 に直すまでが答えです。a√bへの変形があやしいなら平方根へ。
- 30°60°90°・45°45°90°の三角形の比が出てこない → 1:2:√3 と 1:1:√2。定規セットの三角定規そのものです。応用へ。
- 座標平面の2点間の距離で使えることを知らない → 横の差と縦の差を2辺とする直角三角形をつくれば、距離は斜辺。入試頻出の使い方です。
三平方は、図形計算の最終兵器
答えはほぼ毎回√つき。a√bへの変形が実戦の半分を占めます。
中3 相似 →入試の図形は「相似で比→三平方で長さ」の合わせ技が定番。
ツール 平方根の計算ツール →√の変形を途中式つきで確認。検算に使えます。
戻る 面積の考え方 →定理の証明は正方形の面積の話。面積の感覚が理解を支えます。
よくある質問
三平方の定理は、直角三角形以外でも使える？
そのままでは使えません。a²＋b²＝c² が成り立つのは直角三角形だけです。ただし、直角のない図形でも「高さの補助線をひいて直角三角形を作り出す」ことで使えるようになります。正三角形の高さ、二等辺三角形の面積、円の弦の長さ——入試ではむしろ「自分で直角を作ってから三平方」という流れが主役です。
逆に、3辺から直角三角形かどうか判定できる？
できます。3辺のうちいちばん長い辺を c として、a²＋b²＝c² が成り立てば直角三角形です（三平方の定理の逆）。3:4:5 や 5:12:13 は成り立つ組の代表で、覚えておくと計算なしで判定できます。大工さんが直角を出すのに3:4:5のロープを使っていた、という実用の歴史もあります。
よく出る辺の組（ピタゴラス数）は覚えるべき？
3:4:5 と 5:12:13 の2つは覚える価値があります。この比の三角形はテストに繰り返し登場し、気づけば√の計算を丸ごと省略できます。6:8:10（3:4:5の2倍）のような倍数にも気づけるように。三角定規の 1:1:√2 と 1:2:√3 も合わせて、4つの比をセットで持っておくと図形問題の速さが変わります。
☺おうちの方へ
三平方の定理は中学数学の最後の大物ですが、定理そのものは1行です。つまずいている場合、原因はほぼ平方根の計算（a√bへの変形・有理化）にあります。ノートの√まわりのミスを見て、多ければ平方根の単元に戻るのが結局いちばん速い道です。
「テレビの50インチって何の長さ？」（対角線です）のように、対角線の長さが三平方の実例として身近にあります。画面の縦横から対角線を計算してみると、定理が道具として動く体験になります。