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三平方の定理とは？（a²+b²=c²）

三平方（ピタゴラス）の定理を、3辺にかいた正方形の面積の図でわかりやすく解説。a²+b²=c²の意味、斜辺の見分け方、よく使う3辺の組が身につきます。

◎このページのゴール

三平方の定理の意味を理解し、直角三角形の3辺の関係を使えるようになる。

直角三角形には、3つの辺をむすぶ特別な関係があります。それが a2+b2=c2a^2+b^2=c^2。3辺それぞれに正方形をかくと、小さい2つの面積の和が、斜辺の正方形の面積に等しくなる——図で見れば一発です。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

三平方の定理

→やり方

直角三角形で、直角をはさむ2辺を a, ba,\ b、斜辺（直角の向かい）を cc とすると、

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

図でわかる：正方形の面積

3つの辺それぞれを1辺とする正方形をかくと、青 ＋ オレンジ ＝ 紫（面積）になります。これが a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 の正体です。

a²b²c²a² ＋ b² ＝ c²
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セナ

ほんとだ、小さい2つの正方形を合わせると、ちょうど斜辺の正方形になるんだね！

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ホクト先生

そう。だから式を忘れても「2辺の正方形の和＝斜辺の正方形」と思い出せば作れる。図が頭にあると強いよ。

どの辺が c（斜辺）？

✓コツ

斜辺 cc ＝ 直角の真向かいの辺 ＝ いちばん長い辺。 a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 の右辺（c2c^2）は必ず斜辺。直角をはさむ2辺が a,ba,b（左辺）です。ここを取り違えると答えがズレます。

使い方（斜辺を求める）

直角をはさむ2辺が 3,43,4 なら、

c2=32+42=9+16=25  ⇒  c=5c^2=3^2+4^2=9+16=25 \;\Rightarrow\; c=5

このように、2辺がわかれば残りの辺が求まります。

✓理解チェック①

✕よくある間違い

32+423^2+4^2 を (3+4)2=49(3+4)^2=49 としてしまうミスに注意。先に2乗してからたす（9+16=259+16=25）。(a+b)2(a+b)^2 ではありません。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう（練習問題）

斜辺 c を求めましょう（直角をはさむ2辺が a, b）。

  1. a=3, b=4a=3,\ b=4
  2. a=5, b=12a=5,\ b=12
  3. a=8, b=15a=8,\ b=15
  4. a=1, b=1a=1,\ b=1
答えと解説を見る
  1. c2=9+16=25c^2=9+16=25 → c=5c=5
  2. c2=25+144=169c^2=25+144=169 → c=13c=13
  3. c2=64+225=289c^2=64+225=289 → c=17c=17
  4. c2=1+1=2c^2=1+1=2 → c=2c=\sqrt2

家おうちの方へ

三平方の定理は「3辺の正方形の面積」で見せると、丸暗記でなく納得で入ります。つまずきの定番は2つ：①斜辺（c）の取り違え、②32+423^2+4^2 を (3+4)2(3+4)^2 としてしまうミス。「先に2乗してからたす」「斜辺は直角の向かい・最長」を確認させてください。

意味がわかったら、次は2辺から残りの辺（斜辺でない辺もふくむ）を求める練習です。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

  • 直角三角形で、直角をはさむ2辺 $a,b$、斜辺 $c$ のとき $a^2+b^2=c^2$。
  • 図でいえば「2つの小さい正方形の面積の和 ＝ 斜辺の正方形の面積」。
  • 斜辺は直角の向かい・いちばん長い辺（$c$）。
  • よく使う組：(3,4,5)(5,12,13)(8,15,17)。
#三平方の定理#ピタゴラス#直角三角形#中3数学