三平方の定理とは？（a²+b²=c²）

三平方（ピタゴラス）の定理を、3辺にかいた正方形の面積の図でわかりやすく解説。a²+b²=c²の意味、斜辺の見分け方、よく使う3辺の組が身につきます。

◎このページのゴール

三平方の定理の意味を理解し、直角三角形の3辺の関係を使えるようになる。

直角三角形には、3つの辺をむすぶ特別な関係があります。それが $a^2+b^2=c^2$ 。3辺それぞれに正方形をかくと、小さい2つの面積の和が、斜辺の正方形の面積に等しくなる——図で見れば一発です。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

定理の意味を知りたい → ここを見る
なぜ成り立つのか図で見たい → ここを見る
どの辺が c（斜辺）か分からない → ここを見る
計算の使い方を知りたい → ここを見る

三平方の定理

→やり方

直角三角形で、直角をはさむ2辺を $a,\ b$ 、斜辺（直角の向かい）を $c$ とすると、

$a^2+b^2=c^2$

図でわかる：正方形の面積

3つの辺それぞれを1辺とする正方形をかくと、青＋オレンジ＝紫（面積）になります。これが $a^2+b^2=c^2$ の正体です。

セナ

ほんとだ、小さい2つの正方形を合わせると、ちょうど斜辺の正方形になるんだね！

ホクト先生

そう。だから式を忘れても「2辺の正方形の和＝斜辺の正方形」と思い出せば作れる。図が頭にあると強いよ。

どの辺が c（斜辺）？

✓コツ

斜辺 $c$ ＝直角の真向かいの辺＝いちばん長い辺。 $a^2+b^2=c^2$ の右辺（ $c^2$ ）は必ず斜辺。直角をはさむ2辺が $a,b$ （左辺）です。ここを取り違えると答えがズレます。

使い方（斜辺を求める）

直角をはさむ2辺が $3,4$ なら、

$c^2=3^2+4^2=9+16=25 \;\Rightarrow\; c=5$

このように、2辺がわかれば残りの辺が求まります。

✓理解チェック①

✕よくある間違い

$3^2+4^2$ を $(3+4)^2=49$ としてしまうミスに注意。先に2乗してからたす（ $9+16=25$ ）。 $(a+b)^2$ ではありません。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：よく使う3辺の組で斜辺を求める）

直角をはさむ2辺が $a,\ b$ です。斜辺 $c$ を求めましょう。

$a=3,\ b=4$
$a=5,\ b=12$

答えと解説を見る

$c^2=3^2+4^2=9+16=25$ → $c=\sqrt{25}=5$ （確かめ： $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ ◎。これは 3:4:5 の組）
$c^2=5^2+12^2=25+144=169$ → $c=\sqrt{169}=13$ （確かめ： $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ ◎。これは 5:12:13 の組）

✏️ やってみよう②（標準：√が残る場合・簡単化）

斜辺 $c$ を求めましょう。答えに√が残るときは $a\sqrt{b}$ の形まで簡単にします。

$a=8,\ b=15$
$a=1,\ b=1$

答えと解説を見る

$c^2=8^2+15^2=64+225=289$ → $c=\sqrt{289}=17$ （確かめ： $8^2+15^2=64+225=289=17^2$ ◎。これは 8:15:17 の組）
$c^2=1^2+1^2=1+1=2$ → $c=\sqrt2$ （確かめ： $1^2+1^2=2=(\sqrt2)^2$ ◎。これ以上は簡単にできません）

✏️ やってみよう③（応用：直角三角形になるか判定する）

3辺の長さがわかっている三角形が、直角三角形かどうかを調べましょう。いちばん長い辺を $c$ とおき、 $a^2+b^2=c^2$ が成り立つかを確かめます。

3辺が $7,\ 24,\ 25$ の三角形は直角三角形か。
3辺が $6,\ 8,\ 11$ の三角形は直角三角形か。

答えと解説を見る

いちばん長い辺は $25$ 。 $7^2+24^2=49+576=625$ 、 $25^2=625$ 。両方とも $625$ で一致するので 直角三角形（ $25$ の向かいが直角）。
いちばん長い辺は $11$ 。 $6^2+8^2=36+64=100$ 、 $11^2=121$ 。 $100\ne121$ なので 直角三角形ではない（もし $11$ が $10$ なら $10^2=100$ で直角になります）。

💡これ、社会のどこで役立つの？

三平方の定理は「直角があれば、見えない辺の長さが計算で出せる」道具。まっすぐ測りにくい長さを、たて・よこの長さから求められます。

はしご・立てかけ：壁から $1.5$ m 離して $2$ m のはしごをかけると、上端は地面から $\sqrt{2^2-1.5^2}=\sqrt{1.75}\approx1.3$ m の高さに届く——脚立や物干し竿の安全な角度を見積もれる。
テレビ・モニターのインチ：画面の「◯インチ」は対角線の長さ。たて・よこの寸法から $\sqrt{\text{たて}^2+\text{よこ}^2}$ で対角線（インチ）が出るので、置けるサイズかを確かめられる。
斜めの距離（最短）：建物の角から角へ斜めに横切ると何 m か、地図のたて・よこの差から直線距離を出す——ナビやGPSの「直線でおよそ◯km」もこの計算が土台。

この先、辺を求める計算・図形の証明・空間図形（立体の対角線）・関数の座標まで、中3以降の図形のほとんどで使う基礎の定理です。

i🎓 高校ではこう発展する

直角三角形の3辺の関係（三平方の定理）は、高校で 三角比（sin・cos・tan） へ発展します。直角三角形の辺の比に名前をつけたのが三角比で、 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ は三平方の定理そのもの。さらに直角でない三角形でも使える 余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ は、三平方の定理（ $\cos C=0$ のとき）を一般化した式です。いまの「辺の2乗の関係」が、高校数学Ⅰ「図形と計量」の土台になります。

家おうちの方へ

三平方の定理は「3辺の正方形の面積」で見せると、丸暗記でなく納得で入ります。つまずきの定番は2つ：①斜辺（c）の取り違え、② $3^2+4^2$ を $(3+4)^2$ としてしまうミス。「先に2乗してからたす」「斜辺は直角の向かい・最長」を確認させてください。

意味がわかったら、次は2辺から残りの辺（斜辺でない辺もふくむ）を求める練習です。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

直角三角形で、直角をはさむ2辺 $a,b$ 、斜辺 $c$ のとき $a^2+b^2=c^2$ 。
図でいえば「2つの小さい正方形の面積の和＝斜辺の正方形の面積」。
斜辺は直角の向かい・いちばん長い辺（ $c$ ）。
よく使う組：(3,4,5)(5,12,13)(8,15,17)。

よくある質問

三平方の定理とは何ですか？

三平方の定理とは、直角三角形で「直角をはさむ2辺の2乗の和が、斜辺の2乗に等しい」という3辺の関係のことです。直角をはさむ2辺を a、b、斜辺を c とすると、aの2乗＋bの2乗＝cの2乗（a²＋b²＝c²）と表せます。ピタゴラスの定理とも呼ばれます。

斜辺はどの辺ですか？どうやって見分けますか？

斜辺は、直角の真向かいにある、いちばん長い辺です。式 a²＋b²＝c² では c が必ず斜辺で、直角をはさむ2辺が a と b です。ここを取り違えると答えがずれるので、最初に直角の位置を確認しましょう。

三平方の定理でよくある間違いは何ですか？

3²＋4² を (3＋4)²＝49 と計算してしまうミスです。正しくは、先にそれぞれを2乗してからたすので 9＋16＝25 となり、斜辺は √25＝5 です。「先に2乗、あとでたす」と覚えましょう。

覚えておくと便利な3辺の組はありますか？

(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(8, 15, 17) の3つの組がよく使われます。たとえば 3²＋4²＝9＋16＝25＝5² のように、どれも a²＋b²＝c² がぴったり成り立つ整数の組です。覚えておくと、計算しなくても残りの辺がわかることが多くなります。

なぜ a²＋b²＝c² が成り立つのですか？

直角三角形の3つの辺それぞれを1辺とする正方形をかくと、直角をはさむ2辺の正方形2つの面積の和が、斜辺の正方形の面積とぴったり等しくなるからです。a²・b²・c²は、この3つの正方形の面積を表しています。式を忘れても、「小さい2つの正方形の和＝斜辺の正方形」という図を思い出せば、a²＋b²＝c²を作り直せます。

三平方の定理は、日常のどんな場面で使われていますか？

直角があれば、まっすぐ測りにくい長さを計算で求められるので、身近な場面で広く使われています。たとえば、壁に立てかけたはしごが届く高さ、テレビの何インチ（画面の対角線の長さ）、地図のたて・よこの差から求める直線距離などです。2辺がわかれば残りの1辺が計算できることが、便利さのもとになっています。

#三平方の定理#ピタゴラス#直角三角形#中3数学