DE∥BC のとき、ADE= ABC といえる根拠は？

三角形の内角の和が 180° だから

平行線と線分の比（中点連結定理）

三角形に平行線を引くとできる線分の比の性質と、中点連結定理を図でやさしく解説。DE∥BCのときAD:DB＝AE:ECが成り立つ理由を「2組の角が等しい相似」から説明し、2辺の中点を結ぶと底辺に平行で長さが半分になることまで、比例式の計算とあわせて身につきます。

先に答え

$\triangle ABC$ で $DE \parallel BC$ のとき、 $AD:DB=AE:EC$ と $AD:AB=AE:AC=DE:BC$ が成り立ちます。 $2$ つは分母がちがう（部分どうしか、全体との比か）ので取りちがえに注意します。中点連結定理は「 $2$ 辺の中点を結ぶと、底辺に平行で長さは半分」で、 $BC=10$ cmなら中点を結んだ線分は $5$ cmです。

◎このページのゴール

平行線と線分の比・中点連結定理を使って、辺の長さを求められるようになる。

三角形に平行線を引くと、辺が同じ比に分かれます。これは相似の代表的な使いどころ。入試の長さ問題でよく出ます。中点連結定理までまとめて攻略しましょう。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

三角形と平行線の比を知りたい → ここを見る
なぜ比が等しくなるの？ → ここを見る
中点連結定理とは → ここを見る
辺の長さの求め方 → ここを見る

三角形と平行線の比

△ABC で、辺BCに平行な直線が AB、AC を D、E で切るとき、

AD:DB=AE:EC,\qquad AD:AB=AE:AC=DE:BC

✓理解チェック1

△ABC で DE∥BC のとき、

AD:DB

と等しい比はどれ？

答えと解説を見る

答え： $AE:EC$

平行線が2辺を同じ比に分けるので $AD:DB=AE:EC$ です。 $DE:BC$ と等しいのは全体との比 $AD:AB$ なので、区別しましょう。

✓理解チェック2

DE∥BC で

AD=6,\ DB=3

のとき、

AE:EC

をもっとも簡単な整数の比で表すと？

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答え： $2:1$

平行線は2辺を同じ比に分けるので $AE:EC=AD:DB=6:3=2:1$ です。左右を入れかえて $1:2$ としないよう、対応の順に気をつけましょう。

なぜ比が等しい？（相似だから）

DE∥BC だと、△ADE と △ABC は相似になります（∠A が共通、DE∥BC より同位角が等しい＝2組の角）。相似な図形では対応する辺の比が等しいので、 $AD:AB=AE:AC=DE:BC$ が成り立つのです。

セナ

平行線を引くと相似な三角形が現れるんだね！

ホクト先生

そう。「平行 → 同位角・錯角が等しい → 2組の角 → 相似」。平行線を見たら相似を疑う、が合言葉だよ。

✓理解チェック3

DE∥BC のとき、△ADE と △ABC が相似だといえる根拠（相似条件）は？

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答え：2組の角がそれぞれ等しい

∠A が共通、DE∥BC より同位角が等しいので、「2組の角がそれぞれ等しい」を満たします。平行線を見たら相似を疑う、が合言葉です。

✓理解チェック4

DE∥BC のとき、

\angle ADE=\angle ABC

といえる根拠は？

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答え：平行線の同位角が等しい

DE∥BC を直線AB が横切っているとみると、 $\angle ADE$ と $\angle ABC$ は同位角の位置にあります。錯角で等しくなるのは $\angle BDE$ と $\angle DBC$ のほうです。

辺の長さを求める

例： $AD=4,\ DB=2,\ AE=6$ のとき $EC$ は？ $AD:DB=AE:EC$ より、

4:2=6:EC \;\Rightarrow\; 4\times EC=12 \;\Rightarrow\; EC=3

✓理解チェック5

DE∥BC で

AD=3,\ DB=6,\ AE=4

のとき、

EC

は？

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答え： $8$

$AD:DB=AE:EC$ → $3:6=4:EC$ → $3\times EC=24$ → $EC=8$ です。

中点連結定理

三角形の2辺の中点を結ぶと、その線分は

→やり方

残りの辺（底辺）に平行
長さは底辺の半分

例： $BC=10$ なら、中点を結んだ $MN=5$ 。

✓理解チェック6

△ABCで、M・NがそれぞれAB・ACの中点。

BC=14

のとき、

MN

は？

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答え： $7$

中点連結定理より MN＝½BC＝½×14＝7 です。MNはBCに平行にもなります。

やってみよう（練習問題）

やってみよう①（基本：三角形と平行線の比）

$AD:DB=AE:EC$ を使い、比例式で求めましょう。

DE∥BC で $AD=2,\ DB=3,\ AE=4$ のとき、 $EC$ は？
平行線を見たら、まず何を疑うとよいですか。

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$AD:DB=AE:EC$ → $2:3=4:EC$ → $2\times EC=12$ → $EC=6$ （確かめ：内項×外項 $3\times4=12$ 、 $2\times6=12$ で一致 ◎）
相似（平行線から同位角・錯角が等しくなり、「2組の角が等しい」相似な三角形ができる）。

やってみよう②（標準：DEの長さ・中点連結定理）

$AD:AB=DE:BC$ や、中点連結定理（平行で半分）を使いましょう。

DE∥BC で $AD=5,\ AB=8,\ BC=16$ のとき、 $DE$ は？
△ABC で、M・N がそれぞれ AB・AC の中点。 $BC=20$ のとき、 $MN$ は？

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$AD:AB=DE:BC$ → $5:8=DE:16$ → $8\times DE=80$ → $DE=10$ （確かめ：内項×外項 $8\times DE=8\times10=80$ 、 $5\times16=80$ で一致 ◎）
中点連結定理より $MN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\times20=10$ 。 $MN$ は $BC$ に平行にもなる。

やってみよう③（応用：影の長さからビルの高さを求める）

同じ時刻にできる影は、相似な直角三角形になります。「高さ：影の長さ」が一定であることを使いましょう。

ある時刻に、身長 $1.5$ m の人の影が $2$ m でした。同じ時刻に、あるビルの影は $24$ m です。このビルの高さは何 m ですか。

答えと解説を見る

同じ時刻の太陽の光は平行なので、人とビルがつくる直角三角形は相似。「高さ：影の長さ」が等しいので、ビルの高さを $x$ m とすると $1.5:2=x:24$ 。
　 $2x=1.5\times24=36$ → $x=18$ 。 $18$ m（確かめ：内項×外項 $2\times x=2\times18=36$ 、 $1.5\times24=36$ で一致 ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

平行線と線分の比は、「直接はかれない長さを、相似を使って計算で求める」技術につながっています。

測量・地図づくり：川幅や谷の向こうまでの距離など、巻き尺を当てられない長さを、相似な三角形をつくって求める。
影から高さを測る：同じ時刻にできる影は相似な直角三角形になる。木やビル、電柱の高さを、影の長さの比から計算する。
3DCG・ゲームの遠近：奥にあるものほど小さく見える遠近法は、視点から伸びる線がつくる相似の関係。画面上の見え方を、比を使って正しく計算している。

相似と平行線の比は、高校の三角比やベクトル、測量・建築・ものづくりの現場まで、「長さと形を比で扱う」考え方の出発点です。

家おうちの方へ

平行線と比は「平行→同位角・錯角→2組の角→相似→対応する辺の比」という流れが背景です。丸暗記でなく「平行線があると相似な三角形ができる」と理解させると応用がききます。中点連結定理は「中点どうしを結ぶと平行＆半分」とセットで覚えさせてください。

これで中3「相似」は完全攻略です！相似は図形問題・三平方の定理・円の問題と組み合わさって、入試で何度も登場します。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

△ABCで DE∥BC のとき $AD:DB=AE:EC$ 、 $AD:AB=AE:AC=DE:BC$ 。
平行線にはさまれた線分の比は等しい。
中点連結定理：2辺の中点を結ぶと、底辺に平行で長さは半分。
もとは「相似（2組の角）」から導ける。

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よくある質問

三角形と平行線の比では、どんな式が成り立ちますか？

三角形ABCで、辺BCに平行な直線がAB・ACをD・Eで切るとき、AD:DB＝AE:EC と、AD:AB＝AE:AC＝DE:BC が成り立ちます。たとえば AD＝4、DB＝2、AE＝6 なら、4:2＝6:EC の比例式から EC＝3 と求められます。

なぜ平行線を引くと、線分の比が等しくなるの？

DEとBCが平行だと、三角形ADEと三角形ABCが相似になるからです。角Aが共通で、平行線から同位角が等しくなるので、「2組の角がそれぞれ等しい」という相似条件を満たします。相似な図形では対応する辺の比が等しいので、AD:AB＝AE:AC＝DE:BC が成り立ちます。

中点連結定理とは何ですか？

三角形の2辺の中点を結んだ線分は、残りの辺（底辺）に平行で、長さは底辺の半分になる、という定理です。たとえば BC＝10 の三角形ABCで、辺AB・ACの中点M・Nを結ぶと、MNはBCに平行で、MN＝5 になります。「平行で半分」とセットで覚えましょう。

平行線と比の問題は、どう考えれば解けるようになりますか？

「平行線を見たら相似を疑う」が合言葉です。平行→同位角・錯角が等しい→2組の角→相似、という流れで比の式を立て、比例式（内項×外項）で計算します。丸暗記ではなく「平行線があると相似な三角形ができる」と理解しておくと、応用問題にも対応できます。

この単元でつまずいたとき、家庭でできること

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説明役を、外部にまかせる
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#平行線と比#中点連結定理#相似#中3数学