相似とは？（相似比・対応）

相似な図形の意味と相似比を、拡大・縮小の図でわかりやすく解説。対応する辺・角の見つけ方、相似比から辺の長さを求める方法が身につきます。

◎このページのゴール

相似の意味と相似比を理解し、対応する辺の比から辺の長さを求められるようになる。

「形は同じ、大きさだけちがう」——拡大コピー・縮小コピーの関係が相似です。写真の引き伸ばしと同じ。対応する辺・角を正しくつかめば、わからない長さもスッと求まります。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

相似ってどういう意味？ → ここを見る
対応する辺・角の見つけ方 → ここを見る
相似比とは？ → ここを見る
辺の長さの求め方 → ここを見る

相似とは

形が同じで、大きさだけちがう図形どうしを「相似」といいます（記号 $\backsim$ ）。一方を拡大・縮小すると、もう一方にぴったり重なります。

対応する角・辺

相似な図形では、

→やり方

対応する角は、それぞれ等しい
対応する辺の比は、すべて等しい

上の図なら $3:6=4:8=5:10=1:2$ 。どの辺の比も同じになります。

相似比

対応する辺の比を相似比といいます。上の例の相似比は $1:2$ 。

✓コツ

相似比が $1:2$ のとき、
・周の長さの比 も $1:2$ （長さは相似比と同じ）
・面積の比 は $1^2:2^2=1:4$ （面積は相似比の2乗）
この「面積は2乗」は超頻出。混同しないように。

セナ

面積まで2倍だと思ってた！ 2乗で4倍なんだね。

ホクト先生

そう、長さは相似比どおり、面積は相似比の2乗、体積（立体）は3乗。ここを正確に覚えておくと差がつくよ。

✓理解チェック①

辺の長さを求める

対応する辺の比が一定なことを使うと、わからない辺が求まります。相似比 $2:3$ で、小さいほうの辺が $6$ に対応する大きいほうの辺を $x$ とすると、

$2:3=6:x \;\Rightarrow\; 2x=18 \;\Rightarrow\; x=9$

✓理解チェック②

相似な三角形で、相似比が 3:5。小さい三角形の辺 9 に対応する、大きい三角形の辺は？（クイズの表示にはJavaScriptが必要です）

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：相似比・周の比・面積比）

長さ（周）は相似比どおり、面積は相似比の2乗、を使いましょう。

相似比が $1:4$ のとき、面積比は？
相似比が $3:4$ のとき、周の長さの比は？

答えと解説を見る

面積比は相似比の2乗 → $1^2:4^2=1:16$
周の比＝相似比なので $3:4$

✏️ やってみよう②（標準：対応する辺から長さを求める）

「対応する辺どうしで比例式」を立てて、わからない辺を求めましょう。

相似比 $2:5$ で、辺 $8$ に対応する辺は？
相似比 $3:7$ で、大きいほうの辺 $21$ に対応する、小さいほうの辺は？

答えと解説を見る

$2:5=8:x$ → $2x=40$ → $x=20$ （確かめ：内項×外項 $5\times8=40$ 、 $2\times20=40$ で一致 ◎）
$3:7=x:21$ → $7x=63$ → $x=9$ （確かめ：内項×外項 $7\times x=7\times9=63$ 、外項 $3\times21=63$ で一致 ◎）

✏️ やってみよう③（応用：地図の縮尺・実生活）

縮尺は「実物：地図＝一定の比」と考えると、相似比の比例式で解けます。

縮尺 $1:25000$ の地図で、 $4$ cm 離れた2地点があります。実際の距離は何 km ですか。
2つの正方形は必ず相似といえますか。理由もあわせて答えましょう。

答えと解説を見る

地図 $1$ にあたる実際が $25000$ 。地図上 $4$ cm に対応する実際の長さを $x$ cm とすると $1:25000=4:x$ → $x=100000$ cm。 $100000$ cm $=1000$ m $=1$ km。 $1$ km（確かめ：内項×外項 $25000\times4=100000$ 、 $1\times x=1\times100000=100000$ で一致 ◎）
必ず相似。正方形は4つの角がすべて 90° で等しく、4辺の長さも等しいので、どの2つも一方を拡大・縮小すればぴったり重なる（形が同じ）から。

💡これ、社会のどこで役立つの？

「形は同じで大きさだけちがう」という相似の考え方は、地図・設計・ものづくりの世界でそのまま使われています。

地図・設計図の縮尺：縮尺 $1:25000$ の地図から実際の距離を、 $1:50$ の設計図から部屋や家具の本当の大きさを、比例式で計算する。
模型・プラモデル： $1/144$ や $1/100$ といった縮尺は相似比そのもの。実物の長さに縮尺をかければ、模型の各部の長さが決まる。
写真・画面の拡大縮小：写真を引き伸ばしたり、スマホで画像をピンチで拡大しても、縦横の比は変わらない（相似）。崩さずに大きさだけ変えている。

この先、影の長さからビルや木の高さを求める「相似の利用」や、設計・測量・3DCGなど、長さや大きさを正確に扱う仕事の土台になります。

i🎓 高校ではこう発展する

「形が同じで大きさだけちがう」相似の考え方は、高校で 三角比（sin・cos・tan） に直結します。直角三角形は角が等しければ相似なので、辺の比が角だけで決まる——これが三角比の正体です。さらに相似比と面積比（ $a:b$ なら $a^2:b^2$ ）・体積比（ $a^3:b^3$ ）の関係は、高校「図形と計量」で何度も使います。いまの相似の感覚が、その土台になります。

家おうちの方へ

相似は「拡大・縮小コピー」のイメージから入ると直感的です。最大のつまずきは「面積比＝相似比の2乗」。長さはそのまま、面積は2乗、体積は3乗、を図とセットで覚えさせてください。辺を求めるときは「対応する辺どうしで比例式」を立てる習慣を。

相似がわかったら、次は「2つの三角形が相似だと言える条件（相似条件）」です。証明でも使う大事な3つです。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

相似＝形が同じで大きさだけちがう（拡大・縮小）図形。記号は ∽。
対応する角は等しく、対応する辺の比は一定（＝相似比）。
相似比から、わからない辺の長さが求まる。
周の比＝相似比、面積比＝相似比の2乗。

よくある質問

相似とは何ですか？

相似とは、形が同じで大きさだけがちがう図形どうしの関係のことです。一方を拡大・縮小すると、もう一方にぴったり重なります。拡大コピー・縮小コピーの関係と同じで、記号は∽を使います。

相似比とは何ですか？

相似比とは、相似な図形の対応する辺の長さの比のことです。たとえば3辺が3、4、5の三角形と6、8、10の三角形では、3:6＝4:8＝5:10＝1:2 なので、相似比は1:2です。相似な図形では、どの対応する辺の比も同じになります。

相似比と面積比の関係は何ですか？

面積比は、相似比の2乗になります。相似比が1:2なら、面積比は1の2乗:2の2乗＝1:4です。周の長さの比は相似比と同じ、立体の体積比は相似比の3乗なので、「長さはそのまま・面積は2乗・体積は3乗」と区別して覚えましょう。

相似を使うと、どんなことができますか？

対応する辺の比が一定なことを使って、わからない辺の長さを比例式で求められます。たとえば相似比2:3で、小さいほうの辺が6なら、2:3＝6:x を解いて x＝9 です。地図の縮尺や模型、設計図から実際の大きさを計算するときにも、同じ考え方が使われています。

なぜ相似な図形では、どの対応する辺の比も同じになるのですか？

相似は、一方の図形を同じ倍率でそのまま拡大・縮小した関係だからです。たとえば2倍に拡大すると、どの辺も同じように2倍になるので、3辺が3、4、5の三角形は6、8、10になり、3:6＝4:8＝5:10＝1:2と、すべての辺の比がそろいます。倍率で変わるのは長さだけなので、対応する角の大きさは拡大・縮小しても変わりません。

#相似#相似比#中3数学