公式を使う因数分解
x²+(a+b)x+ab などの因数分解を、面積図と「かけてab・たして真ん中」の探し方でわかりやすく。完全平方・平方の差もふくめ、入試頻出の分解を攻略します。
◎このページのゴール
乗法公式を逆向きに使い、x²+(a+b)x+ab などの因数分解ができるようになる。
を に分解する——これが入試で最頻出の因数分解。コツは「かけて定数項、たして真ん中の数」になる2つの数を探すこと。面積図で見れば、何を探しているのかが一目でわかります。
どこでつまずいた？
あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。
基本：かけて定数・たして真ん中
なら、かけて ・たして になる2数を探します。→ と 。
→やり方
- 先に共通因数があればくくる
- かけて定数項・たして の係数になる2数を探す
- に入れる（展開して確認）
図で見る：長方形の辺を探す
因数分解は、 のタイルを1つの長方形に組み直し、その「たて」と「よこ」を求めること。たて ・よこ が答えです。
まんなかの は 、定数の は 。だから「かけて6・たして5」の2数を探していたのです。
展開の図とそっくり！ 因数分解は、その図から辺（x+2 と x+3）を逆に求めるんだね。
まさに。展開と因数分解は同じ図の“行き”と“帰り”。図が頭にあると、符号で迷っても立て直せるよ。
✓理解チェック①
符号の組み合わせ
定数項が＋か−かで、2数の符号が決まります。
✓コツ
- 定数が**＋、真ん中が＋** → 2数とも**＋**（例 ）
- 定数が**＋、真ん中が−** → 2数とも**−**（例 ）
- 定数が**−** → 2数は異符号（例 ）
完全平方・平方の差
特別な形は一瞬で分解できます。
- （例 ）
- （例 ）
- （例 ）
✕よくある間違い
を「分解できない」としてしまうミスが多いです。これは平方の差 なので 。 の形を見たら平方の差を疑いましょう。
✓理解チェック②
やってみよう（練習問題）
✏️ やってみよう（練習問題）
因数分解しましょう（まず共通因数→公式の順で）。
答えと解説を見る
- かけて15・たして8 →
- かけて10・たして−7 →
- かけて−8・たして2 →
- 平方の差 →
- 共通因数2をくくる→
家おうちの方へ
因数分解は「かけて定数・たして真ん中」の2数探しがすべて。最初は候補を表に書き出して探させると確実です。⑤の問題のように「まず共通因数→次に公式」の順番を徹底すると、難しい問題も崩せます。面積図を思い出せれば、符号で迷っても立て直せます。
これで中3「展開と因数分解」は完全攻略です！ 二次方程式・平方根・関数の計算でずっと使う土台。あやしくなったら、いつでもこの図に戻ってきてください。
📌 1分まとめ（声に出して読もう）
- $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$。かけて定数・たして真ん中の2数を探す。
- $x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$／$x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$（完全平方）。
- $x^2-a^2=(x+a)(x-a)$（平方の差）。
- 先に共通因数をくくってから公式を使う。