公式を使う因数分解
x²+(a+b)x+abの因数分解とは、かけて定数項・たして真ん中の数になる2つの数を見つけて(x+a)(x+b)の形に分ける計算のこと。中3数学のこの単元では、面積図を使った探し方から、完全平方や平方の差など入試頻出の分解パターンまでやさしく解説します。
因数分解の公式は 種類で、（かけて定数項・たして の係数になる 数を探す）、（完全平方）、（平方の差）です。 なら、かけて ・たして の と を見つけて 。まず共通因数がないかを先に確認します。
◎このページのゴール
乗法公式を逆向きに使い、x²+(a+b)x+ab などの因数分解ができるようになる。
を に分解する——これが入試で最頻出の因数分解。コツは「かけて定数項、たして真ん中の数」になる2つの数を探すこと。面積図で見れば、何を探しているのかが一目でわかります。
どこでつまずいた？
あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。
基本：かけて定数・たして真ん中
なら、かけて ・たして になる2数を探します。→ と 。
→やり方
- 先に共通因数があればくくる
- かけて定数項・たして の係数になる2数を探す
- に入れる（展開して確認）
✓理解チェック1
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答え： と
かけて12になる組（1と12、2と6、3と4）のうち、たして8になるのは2と6だけ。だから です。3と4はたすと7でNG。
✓理解チェック2
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答え：共通因数の をくくり出す
順番は「まず共通因数→次に公式」。 となります。これは方程式ではなく式なので、 でわって消すことはできません（くくり出して残します）。
図で見る：長方形の辺を探す
因数分解は、 のタイルを1つの長方形に組み直し、その「たて」と「よこ」を求めること。たて ・よこ が答えです。
まんなかの は 、定数の は 。だから「かけて6・たして5」の2数を探していたのです。
展開の図とそっくり！ 因数分解は、その図から辺（x+2 と x+3）を逆に求めるんだね。
まさに。展開と因数分解は同じ図の“行き”と“帰り”。図が頭にあると、符号で迷っても立て直せるよ。
✓理解チェック3
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答え：
かけて12・たして7 → 3と4。 です。2と6はかけて12だがたすと8でNG。
符号の組み合わせ
定数項が＋か−かで、2数の符号が決まります。
✓コツ
- 定数が**＋、真ん中が＋** → 2数とも**＋**（例 ）
- 定数が**＋、真ん中が−** → 2数とも**−**（例 ）
- 定数が**−** → 2数は異符号（例 ）
✓理解チェック4
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答え：
定数が＋で真ん中が−なので、2数とも−。かけて10・たして になるのは と です。展開して に戻るか確かめましょう。
✓理解チェック5
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答え：異符号（＋と−が1つずつ）
かけて−になるのは、＋×−のときだけ。だから定数項が−なら2数は異符号です。 なら、かけて ・たして の と 。
完全平方・平方の差
特別な形は一瞬で分解できます。
- （例 ）
- （例 ）
- （例 ）
✕よくある間違い
を「分解できない」としてしまうミスが多いです。これは平方の差 なので 。 の形を見たら平方の差を疑いましょう。
✓理解チェック6
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答え：
（平方の差）→ 。和と差の積の逆です。
✓理解チェック7
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答え：
で、真ん中が なので完全平方 の形。 で です。定数が＋・真ん中が−なので、かっこの中は になります。
やってみよう（練習問題）
やってみよう①（基本：かけて定数・たして真ん中）
「かけて定数項・たして の係数」になる2数を探しましょう。
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- かけて15・たして8 → 3と5。（確かめ：展開すると ◎）
- かけて10・たして → と 。（確かめ：展開すると ◎。両方マイナス）
やってみよう②（標準：異符号・平方の差）
定数が なら2数は異符号。 の形は平方の差です。
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- かけて ・たして2 → と 。（確かめ：展開すると ◎）
- （平方の差）→ （確かめ：和と差の積で ◎）
やってみよう③（応用：まず共通因数→次に公式）
最初に共通因数をくくり、そのあと公式を使います。順番を守るのがコツ。
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- 共通因数2をくくる → 。中は完全平方 → （確かめ： ◎）
- 共通因数3をくくる → 。中は平方の差 → （確かめ： ◎）
家おうちの方へ
因数分解は「かけて定数・たして真ん中」の2数探しがすべて。最初は候補を表に書き出して探させると確実です。③応用の問題のように「まず共通因数→次に公式」の順番を徹底すると、難しい問題も崩せます。面積図を思い出せれば、符号で迷っても立て直せます。
これで中3「展開と因数分解」は完全攻略です！ 二次方程式・平方根・関数の計算でずっと使う土台。あやしくなったら、いつでもこの図に戻ってきてください。
📌 1分まとめ（声に出して読もう）
- 。かけて定数・たして真ん中の2数を探す。
- ／（完全平方）。
- （平方の差）。
- 先に共通因数をくくってから公式を使う。
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よくある質問
x²＋5x＋6 のような式は、どうやって因数分解しますか？
「かけて定数項・たして真ん中の数」になる2つの数を探して、(x＋□)(x＋□) の形にします。xの2乗（x²）＋5x＋6 なら、かけて6・たして5になるのは2と3なので、(x＋2)(x＋3) です。先に共通因数があればくくり、最後に展開して元に戻るか確認しましょう。
なぜ「かけて定数・たして真ん中」の2数を探すの？
面積図で見ると、x²＋5x＋6 のタイルを1つの長方形に組み直したとき、たてが (x＋2)・よこが (x＋3) になるからです。真ん中の5xは3x＋2xに分かれ、定数の6は2×3。つまり、かけて6・たして5になる2つの数（2と3）が、そのまま長方形の辺を作っているのです。
定数項がマイナスのときは、符号はどう決めますか？
定数が−なら、2つの数は異符号（＋と−）です。たとえば x²＋x−6 は、かけて−6・たして1になる3と−2で、(x＋3)(x−2) になります。定数が＋で真ん中が＋なら2数とも＋、定数が＋で真ん中が−なら2数とも−、と組み合わせが決まっています。
x²−16 は因数分解できますか？
できます。x²−16 は xの2乗−4の2乗という「平方の差」の形なので、(x＋4)(x−4) と分解できます。「分解できない」と答えてしまうミスがとても多い形です。x²−a² の形を見たら、(x＋a)(x−a) の平方の差を疑いましょう。
この単元でつまずいたとき、家庭でできること
- 因数分解（共通因数）に戻るつまずきの原因は、たいてい1つ前の単元にあります。まずそこを確かめてください。
- 印刷して、手を動かす読んでわかっても、手が動くとは限りません。無料のプリントを刷って、量をこなしてください。
- 説明役を、外部にまかせる教える側が説明しきれないときは、無料体験のある外部のサービスで様子を見る方法もあります。