公式を使う因数分解

x²+(a+b)x+ab などの因数分解を、面積図と「かけてab・たして真ん中」の探し方でわかりやすく。完全平方・平方の差もふくめ、入試頻出の分解を攻略します。

◎このページのゴール

乗法公式を逆向きに使い、x²+(a+b)x+ab などの因数分解ができるようになる。

$x^2+5x+6$ を $(x+2)(x+3)$ に分解する——これが入試で最頻出の因数分解。コツは「かけて定数項、たして真ん中の数」になる2つの数を探すこと。面積図で見れば、何を探しているのかが一目でわかります。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

2つの数の探し方を知りたい → ここを見る
図でイメージしたい → ここを見る
完全平方・平方の差を見分けたい → ここを見る
符号（−）の組み合わせで迷う → ここを見る

基本：かけて定数・たして真ん中

$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

$x^2+5x+6$ なら、かけて $6$ ・たして $5$ になる2数を探します。→ $2$ と $3$ 。

$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

→やり方

先に共通因数があればくくる
かけて定数項・たして $x$ の係数になる2数を探す
$(x+\square)(x+\square)$ に入れる（展開して確認）

図で見る：長方形の辺を探す

因数分解は、 $x^2+5x+6$ のタイルを1つの長方形に組み直し、その「たて」と「よこ」を求めること。たて $(x+2)$ ・よこ $(x+3)$ が答えです。

まんなかの $5x$ は $3x+2x$ 、定数の $6$ は $2\times3$ 。だから「かけて6・たして5」の2数を探していたのです。

セナ

展開の図とそっくり！因数分解は、その図から辺（x+2 と x+3）を逆に求めるんだね。

ホクト先生

まさに。展開と因数分解は同じ図の“行き”と“帰り”。図が頭にあると、符号で迷っても立て直せるよ。

✓理解チェック①

符号の組み合わせ

定数項が＋か−かで、2数の符号が決まります。

✓コツ

定数が**＋、真ん中が＋** → 2数とも**＋**（例 $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ ）
定数が**＋、真ん中が−** → 2数とも**−**（例 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ）
定数が**−** → 2数は異符号（例 $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ ）

完全平方・平方の差

特別な形は一瞬で分解できます。

$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ （例 $x^2+6x+9=(x+3)^2$ ）
$x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$ （例 $x^2-10x+25=(x-5)^2$ ）
$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$ （例 $x^2-16=(x+4)(x-4)$ ）

✕よくある間違い

$x^2-16$ を「分解できない」としてしまうミスが多いです。これは平方の差 $x^2-4^2$ なので $(x+4)(x-4)$ 。 $a^2-b^2$ の形を見たら平方の差を疑いましょう。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：かけて定数・たして真ん中）

「かけて定数項・たして $x$ の係数」になる2数を探しましょう。

$x^2+8x+15$
$x^2-7x+10$

答えと解説を見る

かけて15・たして8 → 3と5。 $(x+3)(x+5)$ （確かめ：展開すると $x^2+8x+15$ ◎）
かけて10・たして $-7$ → $-2$ と $-5$ 。 $(x-2)(x-5)$ （確かめ：展開すると $x^2-7x+10$ ◎。両方マイナス）

✏️ やってみよう②（標準：異符号・平方の差）

定数が $-$ なら2数は異符号。 $a^2-b^2$ の形は平方の差です。

$x^2+2x-8$
$x^2-25$

答えと解説を見る

かけて $-8$ ・たして2 → $4$ と $-2$ 。 $(x+4)(x-2)$ （確かめ：展開すると $x^2+2x-8$ ◎）
$x^2-5^2$ （平方の差）→ $(x+5)(x-5)$ （確かめ：和と差の積で $x^2-25$ ◎）

✏️ やってみよう③（応用：まず共通因数→次に公式）

最初に共通因数をくくり、そのあと公式を使います。順番を守るのがコツ。

$2x^2+12x+18$
$3x^2-27$

答えと解説を見る

共通因数2をくくる → $2(x^2+6x+9)$ 。中は完全平方 $(x+3)^2$ → $2(x+3)^2$ （確かめ： $2(x+3)^2=2(x^2+6x+9)=2x^2+12x+18$ ◎）
共通因数3をくくる → $3(x^2-9)$ 。中は平方の差 $x^2-3^2$ → $3(x+3)(x-3)$ （確かめ： $3(x+3)(x-3)=3(x^2-9)=3x^2-27$ ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

「複雑な式を、かけ算の形に分けて見通しよくする」因数分解は、数学や情報の世界で重要な役割を持っています。

暗号・セキュリティ：ネットの通信を守るRSA暗号は「とても大きな数の素因数分解は現実的な時間で解けない」性質を利用している。因数分解はその入り口の考え方。
二次方程式を解く： $x^2+5x+6=0$ は $(x+2)(x+3)=0$ と因数分解すれば、解が $x=-2,\ -3$ とすぐ出る。中3の二次方程式・高校数学で直結する。
式やプログラムの整理：共通する形でまとめると、計算や処理が短く・速くなり、ミスも減る。

因数分解は「展開の逆」を自在に行う力。高校の二次関数・平方根・微分まで土台になり、理系に進むほど出番が増えます。

家おうちの方へ

因数分解は「かけて定数・たして真ん中」の2数探しがすべて。最初は候補を表に書き出して探させると確実です。③応用の問題のように「まず共通因数→次に公式」の順番を徹底すると、難しい問題も崩せます。面積図を思い出せれば、符号で迷っても立て直せます。

これで中3「展開と因数分解」は完全攻略です！二次方程式・平方根・関数の計算でずっと使う土台。あやしくなったら、いつでもこの図に戻ってきてください。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ 。かけて定数・たして真ん中の2数を探す。
$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ ／ $x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$ （完全平方）。
$x^2-a^2=(x+a)(x-a)$ （平方の差）。
先に共通因数をくくってから公式を使う。

よくある質問

x²＋5x＋6 のような式は、どうやって因数分解しますか？

「かけて定数項・たして真ん中の数」になる2つの数を探して、(x＋□)(x＋□) の形にします。xの2乗（x²）＋5x＋6 なら、かけて6・たして5になるのは2と3なので、(x＋2)(x＋3) です。先に共通因数があればくくり、最後に展開して元に戻るか確認しましょう。

なぜ「かけて定数・たして真ん中」の2数を探すの？

面積図で見ると、x²＋5x＋6 のタイルを1つの長方形に組み直したとき、たてが (x＋2)・よこが (x＋3) になるからです。真ん中の5xは3x＋2xに分かれ、定数の6は2×3。つまり、かけて6・たして5になる2つの数（2と3）が、そのまま長方形の辺を作っているのです。

定数項がマイナスのときは、符号はどう決めますか？

定数が−なら、2つの数は異符号（＋と−）です。たとえば x²＋x−6 は、かけて−6・たして1になる3と−2で、(x＋3)(x−2) になります。定数が＋で真ん中が＋なら2数とも＋、定数が＋で真ん中が−なら2数とも−、と組み合わせが決まっています。

x²−16 は因数分解できますか？

できます。x²−16 は xの2乗−4の2乗という「平方の差」の形なので、(x＋4)(x−4) と分解できます。「分解できない」と答えてしまうミスがとても多い形です。x²−a² の形を見たら、(x＋a)(x−a) の平方の差を疑いましょう。

#因数分解#乗法公式#たすき#中3数学