多項式の展開（面積図でわかる）

(a+b)(c+d)の展開を面積図でわかりやすく解説。なぜ4つの積をたすのか、分配法則とのつながりが図で直感的にわかり、かけ忘れミスを防げます。

◎このページのゴール

分配法則と面積図のイメージで、(a+b)(c+d)の形の展開を正しくできるようになる。

$(x+2)(x+3)$ を展開すると？公式を覚える前に、面積図で「なぜそうなるか」を見れば、もう迷いません。展開は「大きな長方形を、4つの小さな長方形に分けて面積をたす」だけです。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

展開のやり方をまず知りたい → ここを見る
なぜ4つかけるのか納得したい（図で） → ここを見る
項のかけ忘れをしてしまう → ここを見る
符号（−）があると混乱する → ここを見る

展開のやり方

→やり方

前のかっこの各項を、後ろのかっこの各項にもれなくかけて、すべてたす。

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

例：

$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$

（ $x\times x=x^2$ 、 $x\times3=3x$ 、 $2\times x=2x$ 、 $2\times3=6$ をたして、同類項 $3x+2x=5x$ をまとめる）

どうして4つの積をたすの？（面積図）

たて $(a+b)$ ・よこ $(c+d)$ の大きな長方形の面積は、4つの小さな長方形の面積の和になります。

「4つの積をたす」は、この4枚のタイルの面積を合計しているだけ。だから1つもかけ忘れてはいけないのです。

セナ

なるほど、4つの長方形を全部たすから、4回かけ算するんだね！

ホクト先生

そう。図にすると「どれとどれをかけるか」が目で見える。慣れるまでは、4本の矢印を書いてもれなくかけるといいよ。

✓理解チェック①

符号に注意

$-$ がある項は、符号もそのままかけます。 $(x-2)(x+3)$ なら $2$ ではなく $-2$ をかけます。

$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$

よくある間違い

✕よくある間違い

まちがい

$(x+2)(x+3)=x^2+6$ （最初と最後だけかけた）

正しい

4つ全部： $x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$

「外側どうし・内側どうし（ $3x$ と $2x$ ）」のかけ忘れが最多ミス。4つの矢印を意識して、まんなかの項を落とさないように。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：4つの積をたす）

4つの積をすべてたして展開しましょう。

$(x+1)(x+4)$
$(x+5)(x-2)$

答えと解説を見る

$x^2+4x+x+4=x^2+5x+4$ （確かめ：因数分解で $(x+1)(x+4)$ にもどる ◎）
$x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10$ （確かめ： $(x+5)(x-2)$ にもどる ◎。 $5x-2x=3x$ で符号OK）

✏️ やってみよう②（標準：マイナスや係数つき）

符号と、 $x$ の前の係数（ $2x$ など）に注意して展開しましょう。

$(x-3)(x-6)$
$(2x+1)(x+3)$

答えと解説を見る

$x^2-6x-3x+18=x^2-9x+18$ （確かめ： $(x-3)(x-6)$ にもどる ◎。 $-6x-3x=-9x$ 、 $(-3)\times(-6)=+18$ ）
$2x^2+6x+x+3=2x^2+7x+3$ （確かめ： $(2x+1)(x+3)$ にもどる ◎。 $6x+x=7x$ ）

✏️ やってみよう③（応用：両方に係数・符号が混ざる）

前後どちらのかっこにも係数や $-$ があります。4つの積を符号ごとていねいにかけましょう。

$(x-4)(x+5)$
$(3x-2)(2x+5)$

答えと解説を見る

$x^2+5x-4x-20=x^2+x-20$ （確かめ： $(x-4)(x+5)$ にもどる ◎。 $5x-4x=x$ 、 $(-4)\times5=-20$ ）
$6x^2+15x-4x-10=6x^2+11x-10$ （確かめ：再び展開すると $3x\times2x=6x^2$ 、 $3x\times5=15x$ 、 $-2\times2x=-4x$ 、 $-2\times5=-10$ 。 $15x-4x=11x$ で一致 ◎）

💡これ、社会のどこで役立つの？

「かっこのまま計算せず、いったん展開して整理する」考え方は、面積やお金の式をあつかう仕事で広く使われています。

建築・測量・内装：「たて $(x+2)$ m・よこ $(x+3)$ m の床」のように、寸法が変わる部屋の面積をまとめて式にし、材料の量や費用を一度に見積もる。
プログラミング：画面サイズや個数が変わっても正しく動くよう、式を $x^2+5x+6$ のような整理した形にしてからコードに書く（計算ミスやバグを減らせる）。
データ・統計：平均や分散の式を展開して整理すると、計算が速くなり、表計算ソフトにも組みやすくなる。

展開は、このあとの因数分解・二次方程式・平方根でずっと使う基本動作です。高校の数学や理系の勉強でも、式を自在に変形する土台になります。

家おうちの方へ

展開のミスは、ほぼ「まんなかの項のかけ忘れ」と「符号」です。面積図で“4枚のタイル”を意識させ、最初は4本の矢印を書かせると、落とさなくなります。公式（次のレッスン）はそのあとで十分です。

4つの積をたす感覚がつかめたら、次は展開を一瞬で終わらせる乗法公式です。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

展開＝かっこをはずして、かけ算を和の形にすること。
$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ （4つの積をすべてたす）。
面積図で「大きな長方形＝4つの小さな長方形の和」と見ると一発。
符号とかけ忘れに注意。

よくある質問

多項式の展開は、どうやって計算しますか？

前のかっこの各項を、後ろのかっこの各項にもれなくかけて、すべてたします。式で書くと (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd。たとえば (x＋2)(x＋3)＝x²＋3x＋2x＋6 となり、同類項をまとめて x²＋5x＋6 が答えです。

展開のとき、なぜ4つの積を全部たすの？

たて (a＋b)・よこ (c＋d) の大きな長方形の面積が、4つの小さな長方形の面積の和になるからです。図で分けると ac、ad、bc、bd の4枚のタイルになり、その合計が展開の答え。だから1つでもかけ忘れると面積が足りなくなり、まちがいになります。

(x＋2)(x＋3)＝x²＋6 は、どこがまちがいですか？

最初どうしと最後どうしだけをかけて、外側・内側の組（3x と 2x）をかけ忘れています。正しくは4つ全部かけて x²＋3x＋2x＋6＝x²＋5x＋6。この「まんなかの項のかけ忘れ」が展開でいちばん多いミスなので、4本の矢印を書いてもれなくかけるのがおすすめです。

かっこの中にマイナスがあるときは、どう展開しますか？

符号もそのままかけます。(x−2)(x＋3) なら 2 ではなく −2 をかけて、x²＋3x−2x−6＝x²＋x−6 となります。マイナスの項は「符号ごと1つの項」としてあつかうのが、符号ミスを防ぐコツです。

#展開#多項式#面積図#中3数学