倍数・公倍数・最小公倍数の見つけ方

倍数とは何か、2つの数の公倍数・最小公倍数の見つけ方を、数直線とベン図でやさしく解説。「最小公倍数＝2つの数のかけ算」と思い込むつまずきも、図で先回りして防ぎます。

「倍数」「公倍数」「最小公倍数」。名前は長いけれど、やることはシンプルです。ある数を整数倍してならべるだけ。$4$ と $6$ の最小公倍数は $12$ ですが、それを「自分で見つけられる」ようになるのがこのページのゴールです。コツは、数を書き出して、共通する数に印をつけること。図で見れば一目でわかります。

倍数って何？（整数倍した数）

倍数とは、その数を $1$ 倍・$2$ 倍・$3$ 倍…と整数倍した数のことです。

たとえば $3$ の倍数は、

$3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ \dots$

$3\times1=3$、$3\times2=6$、$3\times3=9$ …と、ずっと続きます。倍数はかぎりなくあるので、最後はありません。

公倍数・最小公倍数とは

2つの数の倍数を、それぞれ書き出してみます。たとえば $4$ と $6$。

• $4$ の倍数 … $4,\ 8,\ \boxed{12},\ 16,\ 20,\ \boxed{24},\ 28,\ \dots$
• $6$ の倍数 … $6,\ \boxed{12},\ 18,\ \boxed{24},\ 30,\ \dots$

どちらにも出てくる数（共通の数）が 公倍数です。$4$ と $6$ の公倍数は $12,\ 24,\ 36,\ \dots$。その中でいちばん小さい $12$ が、最小公倍数です。

最小公倍数の見つけ方

下の図を見てください。$4$ の倍数と $6$ の倍数を数直線にならべると、両方に印がつくいちばん小さい数が $12$。これが最小公倍数です。

いちいち両方を長く書き出さなくても、大きいほうの数の倍数を順に書いて、もう一方でわり切れる最初の数をさがすと速いです。

$4$ と $6$ なら、大きい $6$ の倍数を書いて、$4$ でわれるかを順に見ます。

$6\ (\div4\ \text{は×}),\quad 12\ (\div4=3\ \text{で◯！})$

$12$ が $4$ でわり切れたので、最小公倍数は $12$。両方でわり切れるか必ず確かめましょう（$12\div4=3$、$12\div6=2$、どちらもわり切れる ◎）。

いっしょに解こう

セナ

$4$ と $6$ の最小公倍数って、$4\times6=24$ じゃないの？ かけたら出ると思ってた…

ホクト先生

それがよくあるカン違いなんだ。かけ算した $24$ も公倍数だけど、いちばん小さいわけじゃない。$4$ と $6$ には、もっと小さい共通の倍数 $12$ があるよね。だからかけ算で出すのはダメ。ちゃんと倍数を書き出して、共通でいちばん小さいものをさがそう。

セナ

なるほど。じゃあ大きいほうの $6$ の倍数を、$6,\ 12,\dots$ と書いて、$4$ でわれるかを見ればいいんだね。

ホクト先生

そのとおり。$6$ は $4$ でわれないけど、$12$ は $4$ でわれる。だから $12$ が答え。最後に「両方でわり切れるか」を確かめれば、まちがいなしだよ。

よくある間違い

やってみよう（練習問題）

倍数のつぎは、その反対の「約数」。$2$ つの数に共通する約数（公約数）と、その中でいちばん大きい最大公約数を見つけにいきましょう。