倍数・約数の文章題（公倍数か公約数か）

文章題で「最小公倍数を使う場面」と「最大公約数を使う場面」を見分けるコツを、図でやさしく解説。同時にそろう問題と、同じ大きさに分ける問題を、迷わず正しく解けるようになります。

倍数・約数の文章題で、いちばん多いつまずきは「公倍数を使うのか、公約数を使うのか」がわからないこと。じつは、問題の言葉を見るだけで見分けられます。「同時にそろう」なら最小公倍数、「同じ数ずつ分ける」なら最大公約数。この2つの型をおぼえれば、ほとんどの文章題はどちらかに当てはまります。

まず見分ける（2つの型）

文章題は、つぎの2つの型のどちらかです。問題の中の言葉に注目しましょう。

ざっくり言うと、数をふやして重なる点をさがすのが公倍数、もとの数をわって分けるのが公約数です。次の図で、そのちがいを目で見てみましょう。

「次に同時にそろう」は最小公倍数

例題1：あるバス停では、A行きが6分ごと、B行きが8分ごとに発車します。いま同時に発車しました。次に同時に発車するのは何分後？

「次に同時にそろう」なので、これは 最小公倍数 の問題です。

• $6$ の倍数：$6,12,18,\textbf{24},30,\dots$
• $8$ の倍数：$8,16,\textbf{24},32,\dots$

両方に出てくる、いちばん小さい数は 24。だから、

$6 \text{ と } 8 \text{ の最小公倍数} = 24$

答えは 24分後 です。（確かめ：$24\div6=4$ でAは4本め、$24\div8=3$ でBは3本め。ちょうど両方が発車する ◎）

「同じ大きさに分ける」は最大公約数

こんどは、分ける 問題です。

例題2：たて18cm、よこ24cmの長方形の紙を、あまりが出ないように同じ大きさの正方形に切り分けます。いちばん大きい正方形の1辺は何cmですか？

「あまりなく・同じ大きさ・いちばん大きい正方形」とあるので、これは 最大公約数 の問題です。1辺の長さは、たて18もよこ24も、ぴったりわり切れる数でないといけません。

• $18$ の約数：$1,2,3,\textbf{6},9,18$
• $24$ の約数：$1,2,3,4,\textbf{6},8,12,24$

両方に出てくる、いちばん大きい数は 6。だから、

$18 \text{ と } 24 \text{ の最大公約数} = 6$

1辺は 6cm です。（確かめ：$18\div6=3$ 個、$24\div6=4$ 個ならび、$3\times4=12$ 個の正方形であまりなし ◎）

例題3：りんご12個とみかん18個を、あまりが出ないように、同じ数ずつ袋に分けます。いちばん多くて何袋に分けられますか？

「あまりなく・同じ数ずつ・いちばん多く」なので、これも 最大公約数 の問題。袋の数は、12も18もぴったりわり切れないといけません。

• $12$ の約数：$1,2,3,4,\textbf{6},12$
• $18$ の約数：$1,2,3,\textbf{6},9,18$

いちばん大きい公約数は 6。だから、

$12 \text{ と } 18 \text{ の最大公約数} = 6$

答えは 6袋 です。1袋に、りんご $12\div6=2$ 個、みかん $18\div6=3$ 個ずつ入ります。（確かめ：$2\times6=12$、$3\times6=18$ であまりなし ◎）

いっしょに解こう

セナ

公倍数と公約数、どっちを使うのかが、毎回わからなくなっちゃう…。

ホクト先生

合言葉でおぼえよう。「次にそろう」なら 公倍数、「分ける」なら 公約数。バスやランプが「また同時になる」のはそろえる話、紙やあめを「同じ大きさ・同じ数に切る」のは分ける話だよ。

セナ

「いちばん小さい」と「いちばん大きい」も、ごちゃごちゃになりそう。

ホクト先生

そこも型でOK。そろえる問題は「次に＝いちばん小さい公倍数（最小公倍数）」、分ける問題は「できるだけ大きく＝いちばん大きい公約数（最大公約数）」。型と合言葉がセットだと、もう迷わないよ。

やってみよう（練習問題）

見分けができるようになったら、次はこの考えがそのまま生きる 分数の約分・通分 へ進みましょう。