底辺と高さの見つけ方｜高さが三角形の外に出るときの面積【小5算数】
三角形や平行四辺形の「高さ」は底辺に垂直な長さで、とがった三角形では高さが図形の外に出ることがあります。小5算数のこの単元では、底辺の選び方、外に出た高さの見つけ方、底辺と高さが同じなら形がちがっても面積は等しいことまで、図でわかりやすく解説します。
高さとは底辺に垂直にはかった長さのことで、底辺をのばした直線までの垂直な長さでもかまいません。ななめにかたむいた三角形では、高さが三角形の外に出ることがありますが、公式は同じ底辺×高さ÷2です。底辺8cm・高さ5cm（外に出ていても）なら で20cm²。底辺と高さが同じなら、形がちがっても面積はすべて等しくなります。
◎このページのゴール
どんな向き・形の三角形でも底辺と高さの組を見つけられるようになり、高さが外に出る三角形の面積も求められるようになる。
公式は覚えたのに、テストで点を落とす——その原因のほとんどは、底辺と高さの組を見つけられないことです。とくに「高さが三角形の外に出る」形はつまずきの名所。ここを押さえれば、面積の単元は総仕上げ完了です。
どこでつまずいた？
あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。
高さが「外」に出る三角形
ななめに大きくかたむいた三角形では、頂点から底辺に垂直な線を下ろすと、底辺の上に着地しません。
そんなときは、底辺をまっすぐのばした直線を考えます。高さは「底辺（をのばした直線）に垂直な長さ」。外に出ていても、りっぱな高さです。
そして大事なこと——公式は何も変わりません。
例：底辺8cm・高さ5cm（外に出ている）→ → 20cm²。
高さが三角形の中を通ってないのに、使っていいの？
いいんだよ。この三角形を「同じ底辺・同じ高さの、まっすぐな三角形」に変身させても面積は同じ（あとで確かめよう）。高さは三角形の中にある必要はなくて、「底辺からてっぺんまでの垂直きょり」でありさえすればいいんだ。
✓理解チェック1
底辺の選び方——「計算できる組」を探す
底辺は3つの辺のどれでもOK。だからこそ、**長さがわかっている辺と、それに垂直な高さの「組」**を探します。
→やり方
底辺と高さの組の見つけ方
- 直角のしるし（小さい四角）を探す
- その垂直な線を受け止めている辺が底辺（のばした線のこともある）
- 底辺と高さの両方の長さがわかる組で計算する
図がななめを向いていたら、紙（または頭の中）を回して、底辺を下にして見ましょう。「高さ＝てっぺんまでの垂直きょり」が見つけやすくなります。
✓理解チェック2
底辺と高さが同じなら、面積はぜんぶ同じ
三角形の面積は「底辺」と「高さ」の2つだけで決まります。つまり——
底辺と高さが同じなら、頂点がどこにあっても面積は同じ。
平行な2本の線の間で、頂点を横にすべらせるイメージです。かたむいて高さが外に出た三角形も、頂点をすべらせて「まっすぐな三角形」に直せるから、同じ公式で求められるのです。
この「形を変えても面積は同じ」という考え方は等積変形とよばれ、中学の図形問題で主役になります。
✓理解チェック3
✓理解チェック4
まちがえやすいポイント
✕よくある間違い
① ななめの辺を高さとして使う：高さはあくまで垂直な長さ。かたむいた三角形ほど、ななめの辺にだまされやすいので注意。
② 「高さが外に出た三角形は求められない」と思い込む：求められます。底辺をのばした線までの垂直きょりが高さです。
③ 底辺と高さの組がちぐはぐ：底辺を変えたら高さも変わります。「この高さは、どの底辺に垂直？」を毎回確認。
✓理解チェック5
✓理解チェック6
やってみよう（練習問題）
やってみよう①（基本：高さが外に出る三角形）
面積を求めましょう（高さはどちらも三角形の外に出ています）。
- 底辺5cm・高さ8cmの三角形
- 底辺12cm・高さ4cmの三角形
答えと解説を見る
- → 20cm²（高さが外でも公式は同じ）
- → 24cm²
やってみよう②（標準：組を選ぶ）
- ある三角形は、辺アが6cmで、アに垂直な高さが5cm。辺イは8cmで、イに垂直な高さはわかりません。面積は？
- 1の三角形で、辺イ（8cm）を底辺にしたときの高さは？
答えと解説を見る
- 長さがそろっている組（ア6cm・高さ5cm）で計算。 → 15cm²
- 面積は同じ15cm²だから、、 → 3.75cm（どの底辺でも面積は同じ、を逆に使う）
やってみよう③（応用：等積変形の考え方）
- 底辺9cm・高さ4cmの「かたむいた三角形」と、底辺9cm・高さ4cmの「まっすぐな三角形」。面積のちがいは？
- 平行な2本の線（はば6cm）の間に、底辺10cmの三角形をかきます。頂点を線の上でどこにすべらせても、面積は何cm²？
答えと解説を見る
- どちらも で18cm²。ちがいは0（底辺と高さが同じなら面積は同じ）
- 高さはつねに6cmだから → 30cm²（頂点の位置は面積に関係しない）
家おうちの方へ
高さが外に出る三角形は、教科書では1〜2問しか出てこないのに、テストでは配点が高い定番です。「高さ＝底辺をのばした線までの垂直きょり」と言葉で言えるかを確認してください。方眼紙に底辺を固定した三角形をいくつもかき、頂点だけ動かして「面積が変わらない」ことを計算で確かめる遊びが効きます。この等積変形の感覚は、中学入試の面積問題や中2の「平行線と面積」にそのままつながる、投資効果の高い単元です。
これで四角形と三角形の面積は総仕上げ完了。次のステップは、小6の円の面積——ここでも「知っている形への変身」の作戦が続きます。
📌 1分まとめ（声に出して読もう）
- 高さ＝底辺（をのばした直線）に垂直な長さ。
- とがった三角形では、高さが外に出る。それでも公式は同じ。
- 底辺はどの辺を選んでもよい。高さの組もいっしょに変わる。
- 底辺と高さが同じなら、形がちがっても面積は同じ。
よくある質問
三角形の高さが図形の外に出るのは、どんなときですか？
三角形が底辺に対して大きくかたむいているとき（1つの角が直角より大きい鈍角三角形で、その角をはさむ辺を底辺にしたとき）です。頂点から底辺に垂直な線を下ろすと、底辺の上に着地せず、底辺をのばした直線の上に着地します。この「のばした線までの垂直な長さ」が高さです。
高さが外に出ている三角形の面積は、どう求めますか？
ふつうの三角形とまったく同じで、底辺×高さ÷2です。たとえば底辺8cm・高さ5cmなら、高さが外に出ていても 8×5÷2＝20 で20cm²になります。高さの位置が外にあるだけで、公式は何も変わりません。
底辺と高さが同じ三角形は、形がちがっても面積は同じですか？
同じです。三角形の面積は底辺と高さの2つだけで決まるので、頂点が左右にどれだけずれていても、底辺8cm・高さ5cmなら面積は必ず20cm²です。平行な2本の線の間で頂点をすべらせても面積が変わらない、と考えるとイメージしやすくなります。
底辺はどうやって選ぶとよいですか？
長さがわかっている辺と、それに垂直な長さ（高さ）の組がそろっている辺を選びます。3つの辺のどれを底辺にしても面積は同じなので、「計算できる組」を探すのがコツです。図を回して、選んだ底辺が下になるように見ると高さを見つけやすくなります。
この単元でつまずいたとき、家庭でできること
- 三角形の面積（底辺×高さ÷2）に戻るつまずきの原因は、たいてい1つ前の単元にあります。まずそこを確かめてください。
- 説明役を、外部にまかせる教える側が説明しきれないときは、無料体験のある外部のサービスで様子を見る方法もあります。