分数のわり算のやり方（なぜ逆数をかける？）

分数のわり算「ひっくり返してかける」理由を図と式でやさしく解説。逆数の意味と、なぜ÷が×に変わるのかが、丸暗記でなく納得して身につきます。

分数のわり算は「ひっくり返してかける」。やり方は有名ですが、なぜ？ と聞かれると困りますよね。ここでは、その理由までしっかり納得してもらいます。理由がわかれば、もう一生忘れません。

分数のわり算のやり方

$\dfrac23\div\dfrac45=\dfrac23\times\dfrac54=\dfrac{2\times5}{3\times4}=\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$

逆数とは

逆数とは、分母と分子を入れかえた数。もとの数とかけると 1になる相手です。

$\dfrac45\ \text{の逆数は}\ \dfrac54\quad\left(\dfrac45\times\dfrac54=1\right)$

整数の逆数も同じ。$3=\dfrac31$ なので、$3$ の逆数は $\dfrac13$ です。

どうして「ひっくり返してかける」の？

まず直感から。$3\div\dfrac12$ は「3 の中に $\dfrac12$ がいくつ入るか」という意味。下の図のように、3 を半分ずつに分けると 6 個。だから $3\div\dfrac12=6$。これは $3\times2$ と同じ——つまり「÷$\dfrac12$」は「×2（$\dfrac12$ の逆数をかける）」なのです。

つぎに、なぜ一般に逆数をかけてよいのか。わり算は「わられる数とわる数の両方に同じ数をかけても、商は変わらない」という性質があります（$6\div2=12\div4$ と同じ）。これを使って、わる数を1にしてしまえば、わり算が消えます。

$\dfrac23\div\dfrac45=\left(\dfrac23\times\dfrac54\right)\div\left(\dfrac45\times\dfrac54\right)=\left(\dfrac23\times\dfrac54\right)\div 1=\dfrac23\times\dfrac54$

わる数 $\dfrac45$ に逆数 $\dfrac54$ をかけると1になる。同じことをわられる数にもすると、結局「逆数をかける」だけが残るのです。

セナ

わる数を1にすれば「÷1」だから消える…だから逆数をかけるんだ！

ホクト先生

その通り！ 「ひっくり返してかける」は魔法じゃなくて、ちゃんと理由がある。逆数はかけると1になる相手、と覚えておけば納得だね。

どっちをひっくり返す？

やってみよう（練習問題）

最後は、帯分数やかけ算・わり算が混じった計算。仮分数と逆数の合わせ技で攻略します。