単項式の乗法・除法（累乗・係数と文字）

単項式どうしのかけ算・わり算を図でやさしく解説。係数は係数どうし・文字は文字どうしにかける、(2a)²は係数も2乗、わり算は分数にして約分、乗除の混じった計算は左から——つまずきやすい所を面積図でしっかりわかります。

$3a\times4b$ はいくつ？ 答えは $12ab$。単項式（数と文字のかけ算だけでできた式）のかけ算・わり算は、係数は係数どうし、文字は文字どうしにまとめるだけです。ここをつかめば、$(2a)^2$ のような累乗や、$\div$ の混じった計算まで一気に見通せます。つまずきやすい「$(2a)^2=2a^2$ にしちゃう」「$x\times x=2x$ にしちゃう」も、図で先に片づけましょう。

単項式のかけ算（乗法）

$3a\times4b$ のような単項式どうしのかけ算は、数の部分（係数）どうしと、文字の部分どうしを、それぞれ分けてかけます。

たとえば $3a\times4b$ は、係数 $3\times4=12$、文字は $a\times b=ab$。あわせて答えは $12ab$ です。

$3a\times4b=(3\times4)\times(a\times b)=12ab$

同じ文字をかけるときは、累乗になります。$2x\times3x$ は、係数 $2\times3=6$、文字 $x\times x=x^2$。だから答えは $6x^2$ です。

$2x\times3x=(2\times3)\times(x\times x)=6x^2$

なぜそうなるの？（バラして並べかえる）

かけ算は順番を入れかえても答えが変わりません（交換法則）。だから $2x\times3x$ を全部かけ算でバラして、数どうし・文字どうしに並べかえられるのです。

数どうし $2\times3=6$、文字どうし $x\times x=x^2$。バラして並べかえるから、係数は係数どうし・文字は文字どうしにかければよいのです。

累乗の注意（係数も2乗）

$(2a)^2$ は、$2a$ を2回かけるという意味です。$2a\times2a$ なので、係数の $2$ も2乗されます。

$(2a)^2=2a\times2a=(2\times2)\times(a\times a)=4a^2$

かっこの中が $-$ でも同じです。$(-3x)^2$ は $(-3x)\times(-3x)$。$-$ どうしのかけ算は $+$ になるので、

$(-3x)^2=(-3x)\times(-3x)=9x^2$

なぜそうなるの？（正方形の面積で見る）

$(2a)^2$ は、たて $2a$・よこ $2a$ の正方形の面積と考えられます。1辺を $2a$ にすると、面積は $2a\times2a$。タイルで数えると見えてきます。

$a\times a=a^2$ のタイルが、たて2枚・よこ2枚で4枚。だから $(2a)^2=4a^2$。係数の $2$ が2乗されて $4$ になるのが、タイルの枚数として見えますね。

$-3x^2$ と $(-3x)^2$ はまるで別もの

よく似ていますが、答えはまったく違います。かっこの有無で「2乗されるもの」が変わるからです。

$(-3x)^2$ は $-3x$ ぜんぶを2乗するので $9x^2$。いっぽう $-3x^2$ は $x$ だけを2乗して、$-3$ はそのまま。だから $-3x^2$ のまま（$=-3\times x\times x$）です。

単項式のわり算（除法）

$6ab\div2a$ のような単項式どうしのわり算は、分数の形に書きなおして約分するのがいちばん確実です。

$6ab\div2a$ を分数にして約分してみましょう。係数は $6\div2=3$、文字は $a$ どうしが消えて $b$ が残ります。

$6ab\div2a=\dfrac{6ab}{2a}=\dfrac{6\times a\times b}{2\times a}=3b$

文字が累乗の場合も同じです。$8x^2\div4x$ は、係数 $8\div4=2$、文字は $x^2\div x=x$。

$8x^2\div4x=\dfrac{8x^2}{4x}=\dfrac{8\times x\times x}{4\times x}=2x$

なぜそうなるの？（同じ文字は消し合う）

分数で約分するとは、上と下に同じものがあれば、それを消す（1にする）こと。$\dfrac{a}{a}=1$ だから、上と下の $a$ は消えてなくなります。

係数 $6$ と $2$ を約分して $3$。上と下の $a$ は同じなので消え、$b$ だけが残ります。だから答えは $3b$。約分のとき、文字も数とまったく同じように消し合えるのがポイントです。

乗除の混じった計算は「左から順に」

$6a^2\div3a\times2b$ のように $\times$ と $\div$ が混じったときは、左から順に計算します。$\div$ を先に右の $\times$ と勝手にまとめてはいけません。

$6a^2\div3a\times2b=\dfrac{6a^2}{3a}\times2b=2a\times2b=4ab$

まず左の $6a^2\div3a=2a$ を計算し、それに $2b$ をかけて $4ab$。順番を守れば迷いません。

いっしょに解こう

セナ

$(2a)^2$ って、$2a^2$ じゃダメなの？ つい $a$ だけ2乗しちゃう…

ホクト先生

そこがいちばんの落とし穴だね。$(2a)^2$ は $2a$ を2回かける意味だから $2a\times2a$。係数の $2$ も2回かかって $4$ になる。かっこの中ぜんぶが2乗されるんだ。だから $4a^2$ だよ。

セナ

なるほど！ じゃあ $6ab\div2a$ は？ $\div$ があると急にわからなくなる…

ホクト先生

$\div$ は分数の形に直すと一気にラクになるよ。$\dfrac{6ab}{2a}$ にして、数の $6\div2=3$、上と下の $a$ は同じだから消える。残るのは $3b$。分数にして約分——これが合言葉だね。

やってみよう（練習問題）

単項式の乗除ができるようになったら、次は文字に実際の数を入れて答えを出す**式の値（代入）**へ進みましょう。