文字式の利用（偶数・奇数や連続する整数の説明）

「連続する3つの整数の和はいつでも3の倍数」のような性質を、文字式で説明（証明）する方法をやさしく解説。偶数2n・奇数2n+1の表し方から、文字でおく→計算→◯×整数の形にする、という説明の型まで、図と例題でしっかりわかります。

「連続する3つの整数の和は、いつも3の倍数になる」——これ、本当でしょうか。$1+2+3=6$、$10+11+12=33$… たしかに全部3の倍数。でも「いくつか試した」だけでは「いつでも」とは言えません。そこで活躍するのが文字式。数を文字でおいてしまえば、たった1本の式で「どんな数でも成り立つ」ことを説明できます。

まず「数を文字で表す」

説明の出発点は、調べたい数を文字で表すこと。いちばん大事なのは「$n$ は整数とことわる」ことです。

たとえば $n=3$ なら、偶数 $2n=6$、奇数 $2n+1=7$。$n=10$ なら $2n=20$、$2n+1=21$。$n$ にどんな整数を入れても、ちゃんと偶数・奇数になります。

説明（証明）の「型」を覚える

文字式の説明には、いつも同じ**型（流れ）**があります。この4ステップに沿って書けば、論理が飛びません。

ポイントは③です。$3n+3$ で止めず、$3\times(\text{整数})$ の形まで変形しきること。$3(n+1)$ まで書いて、はじめて「3の倍数」と言えます。

例題1：連続する3つの整数の和は3の倍数

「連続する3つの整数の和は、いつでも3の倍数になる」ことを説明しましょう。

$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$

③「◯×整数」の形にする：$3n+3$ を $3$ でくくると、

$3n+3=3(n+1)$

④結論：$n$ は整数だから $n+1$ も整数。$3\times(\text{整数})$ なので、この和はいつでも3の倍数です。

なぜ「3×整数」になると3の倍数？（図で見る）

下の図のように、3つの数 $n,\ n+1,\ n+2$ は、まん中の $n+1$ を基準にすると「$-1$」「ぴったり」「$+1$」。$-1$ と $+1$ が打ち消し合うので、和は $(n+1)$ がちょうど3つ分＝ $3(n+1)$ になります。

例題2：偶数＋偶数、奇数＋奇数

つぎは偶数・奇数の和。2つの数は別べつなので、文字も別べつ（$m$ と $n$）にするのがコツです。

偶数＋偶数＝偶数

$2m+2n=2(m+n)$

$m+n$ は整数だから、$2\times(\text{整数})$。だから偶数＋偶数は、いつでも偶数です。確かめ：$m=3,\ n=5$ で $6+10=16=2\times8$ ◎。

奇数＋奇数＝偶数

$(2m+1)+(2n+1)=2m+2n+2=2(m+n+1)$

$m+n+1$ は整数だから、$2\times(\text{整数})$。だから奇数＋奇数は、いつでも偶数になります。確かめ：$m=2,\ n=3$ で $5+7=12=2\times6$ ◎。

例題3：2けたの数と入れかえた数の和

2けたの自然数は、十の位を $a$、一の位を $b$ として $10a+b$ と表します（位ごとに分けるのがコツ）。たとえば $27$ なら $a=2,\ b=7$ で $10\times2+7=27$ です。

この2けたの数と、十の位と一の位を入れかえた数 $10b+a$ の和は、いつでも11の倍数になります。

$(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)$

$a+b$ は整数だから、$11\times(\text{整数})$。だから、この和はいつでも11の倍数です。確かめ：$27+72=99=11\times9$、$13+31=44=11\times4$ ◎。

セナ

例題1〜3って、ぜんぶ似てる気がする…！ やってること同じ？

ホクト先生

いいところに気づいたね。どれも「①文字でおく→②計算→③◯×整数の形にする→④だから〜」の同じ型なんだ。3の倍数なら $3(\ )$、偶数なら $2(\ )$、11の倍数なら $11(\ )$。くくり出す数が結論を決めるんだよ。

セナ

なるほど！ ③でくくりきるのが大事なんだね。$3n+3$ で止めたら、まだ「3の倍数」って言えないんだ。

ホクト先生

そのとおり。$3n+3$ だと見た目は3の倍数っぽくないでしょ？ $3(n+1)$ まで変形して、はじめて「3が3つ分くくり出せた＝3の倍数」とハッキリ言えるんだ。

やってみよう（練習問題）

文字式を使えば「いつでも成り立つ理由」を1本の式で示せます。この「説明する力」を土台に、次は中2のもう一つの大きな単元、連立方程式へ進みましょう。