二次方程式を因数分解で解く

二次方程式の基本「因数分解で解く」を、積が0なら一方が0という分岐図でわかりやすく。=0に整理→因数分解→AB=0の利用、の流れが身につきます。

◎このページのゴール

二次方程式を =0 に整理し、因数分解を使って解けるようになる。

$x^2$ をふくむ方程式が二次方程式。解き方の主役は因数分解です。カギは「かけて0になるなら、どちらかが0」というシンプルな考え方。図で見ればすぐ納得できます。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

解き方の手順を知りたい → ここを見る
なぜ「一方が0」になるの？ → ここを見る
=0 に整理するのを忘れる → ここを見る
x² −5x のように定数がない形 → ここを見る

因数分解で解く手順

→やり方

すべて左辺に移項して「（式）＝0」にする
左辺を因数分解する
AB＝0 → A＝0 または B＝0 で、1次方程式を解く

例： $x^2+x-6=0$

$x^2+x-6=0 \;\Rightarrow\; (x+3)(x-2)=0 \;\Rightarrow\; x=-3,\ 2$

なぜ「どちらかが0」？（図）

2つの数をかけて答えが0になるのは、どちらかが0のときだけ（ $3\times5$ は0にならない）。だから $(x+3)(x-2)=0$ なら、 $x+3=0$ か $x-2=0$ のどちらかです。

セナ

解が2つあるのが、ふつうの方程式とちがうね。

ホクト先生

そう、二次方程式は解が最大2つ。分岐の図のように「2つの道」を両方たどるイメージだよ。

✓理解チェック①

まず「＝0」に整理する

因数分解で解くには、右辺が0でなければなりません。 $x^2=2x+3$ のような形は、先に移項して $=0$ に。

$x^2=2x+3 \;\Rightarrow\; x^2-2x-3=0 \;\Rightarrow\;(x-3)(x+1)=0 \;\Rightarrow\; x=3,\ -1$

✕よくある間違い

$x^2=2x+3$ をいきなり因数分解しようとするのはNG。**必ず先に「＝0」**にしてから因数分解します。

定数がない形（共通因数）

$x^2-5x=0$ のように定数項がないときは、共通因数 $x$ でくくります。

$x^2-5x=0 \;\Rightarrow\; x(x-5)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\ 5$

✕よくある間違い

両辺を $x$ でわって $x-5=0$ 、 $x=5$ だけにするのはまちがい。 $x=0$ という解が消えてしまいます。0でわるかもしれない操作は禁止。必ず因数分解で。

✓理解チェック②

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：AB＝0・因数分解する）

$AB=0$ なら $A=0$ または $B=0$ 。まずはこの形に慣れましょう。

$(x+5)(x-2)=0$
$x^2+7x+12=0$

答えと解説を見る

$x+5=0$ または $x-2=0$ → $x=-5,\ 2$ （確かめ： $x=-5$ で $(0)(-7)=0$ ◎、 $x=2$ で $(7)(0)=0$ ◎）
$(x+3)(x+4)=0$ → $x=-3,\ -4$ （確かめ： $x=-3$ で $9-21+12=0$ ◎、 $x=-4$ で $16-28+12=0$ ◎）

✏️ やってみよう②（標準：＝0に整理・共通因数）

「先に $=0$ にする」「定数がなければ共通因数でくくる」を練習しましょう。

$x^2-4x=0$
$x^2=x+6$

答えと解説を見る

$x(x-4)=0$ → $x=0,\ 4$ （確かめ： $x=0$ で $0-0=0$ ◎、 $x=4$ で $16-16=0$ ◎。両辺を $x$ でわると $x=0$ が消えるので注意）
移項して $x^2-x-6=0$ → $(x-3)(x+2)=0$ → $x=3,\ -2$ （確かめ： $x=3$ で $9=3+6$ ◎、 $x=-2$ で $4=-2+6$ ◎）

✏️ やってみよう③（応用：面積からの文章題）

身のまわりの場面を、二次方程式を立てて解きましょう。長さは正なので、答えは正のほうだけを選びます。

横が縦より $3\ \text{cm}$ 長い長方形の花だんがあります。面積は $40\ \text{cm}^2$ です。縦の長さを求めなさい。

答えと解説を見る

縦を $x\ \text{cm}$ とおくと横は $(x+3)\ \text{cm}$ 。面積から $x(x+3)=40$ → $x^2+3x-40=0$ → $(x+8)(x-5)=0$ → $x=-8,\ 5$ 。長さは正なので $x=5$ 。縦 $5\ \text{cm}$ （横は $8\ \text{cm}$ ）。（確かめ： $5\times8=40$ ◎。 $x=-8$ は長さとしてありえないので除く）

💡これ、社会のどこで役立つの？

因数分解で二次方程式を解く力は、「面積や個数などの条件から、もとの長さや数を逆算する」場面で役立ちます。

設計・DIY：作りたい面積が決まっているとき、縦横の関係（「横は縦より3cm長い」など）から実際の寸法を求める。花だん・棚・部屋の割り付けに。
在庫・並べ方：「縦と横の個数をかけると合計◯個」「縦は横より◯多い」といった条件から、並べ方（行と列）を割り出す。
データ・プログラミング：処理回数が「データ数の2乗」に比例するとき、許せる処理回数から扱えるデータ件数の上限を見積もる（計算量の感覚づくり）。

因数分解で解く流れは、このあとの平方根・解の公式、そして高校の二次関数の「グラフがx軸と交わる点（解）」の理解へとつながります。

家おうちの方へ

二次方程式の第一歩は「＝0に整理→因数分解→積が0」の流れの定着です。最大のミスは $x^2-5x=0$ を両辺xでわって解を1つ消すこと。「0かもしれない数でわらない」を徹底させてください。図の“2つの道”のイメージで、解が2つあることも自然に受け入れられます。

因数分解できないときのために、次は平方根を使う解き方を学びます。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

まず右辺を0にして「（式）＝0」に整理する。
左辺を因数分解する。
$AB=0$ なら $A=0$ または $B=0$ （積が0なら一方が0）。
解は2つになることが多い。両辺をxでわってはいけない（解が消える）。

よくある質問

二次方程式を因数分解で解くには、どうすればいいですか？

まず右辺を0にして「（式）＝0」に整理し、左辺を因数分解して、「AB＝0ならA＝0またはB＝0」で1次方程式を解きます。たとえば xの2乗（x²）＋x−6＝0 は (x＋3)(x−2)＝0 と因数分解でき、x＋3＝0 または x−2＝0 から、解は x＝−3 と x＝2 です。

なぜ、積が0ならどちらかが0といえるの？

2つの数をかけて答えが0になるのは、どちらかが0のときだけだからです。3×5のように、0でない数どうしをかけても0にはなりません。だから (x＋3)(x−2)＝0 なら、x＋3＝0 か x−2＝0 のどちらかが必ず成り立ちます。この考え方が因数分解で解く方法の土台です。

x²−5x＝0 は、両辺をxでわって解いてもいいですか？

いけません。x＝0という解が消えてしまうからです。xは0かもしれないので、0でわるかもしれない操作は禁止です。共通因数のxでくくって x(x−5)＝0 とし、x＝0 と x＝5 の2つの解を出します。

二次方程式の解は、いくつあるのですか？

二次方程式の解は最大で2つです。因数分解すると (x＋3)(x−2)＝0 のように2つの1次方程式に分かれるので、解が2つになることが多いです。ふつうの1次方程式とちがい、2つの道を両方たどるイメージで、答えを2つとも書くのを忘れないようにしましょう。

#二次方程式#因数分解#中3数学