二次方程式を平方根で解く

中3数学、x²＝kや(x+m)²＝kの形の二次方程式を、平方根を使って一気に解く方法を数直線の図でやさしく解説。2乗して同じ数になる正負2つの解に±をつけ忘れない理由、√の中をできるだけ簡単な形に整理するしかたまで、例題つきでしっかり身につきます。

先に答え

$x^2=k$ の形なら $x=\pm\sqrt{k}$ 、 $(x+m)^2=k$ の形なら $x+m=\pm\sqrt{k}$ から $x=-m\pm\sqrt{k}$ と解けます。 $(x-3)^2=5$ なら $x=3\pm\sqrt5$ 。 $\pm$ を忘れて解を $1$ つしか書かないのが最多の誤りです。 $\sqrt{\ }$ の中はできるだけ簡単にして（ $\sqrt{12}=2\sqrt3$ ）答えます。

◎このページのゴール

x²＝k・(x+m)²＝k の形の二次方程式を、平方根を使って解けるようになる。

$x^2=9$ の答えは？ $3$ だけ……ではありません。 $(-3)^2=9$ なので、 $x=\pm3$ 。「2乗＝数」の形は、平方根を使って一発で解けます。±を忘れないのがコツです。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

x²＝k の解き方を知りたい → ここを見る
なぜ ± がつくの？ → ここを見る
(x+m)²＝k の形が解けない → ここを見る
√の中の整理を忘れる → ここを見る

x²＝k の解き方

→やり方

x^2=k\ (k\ge0)\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{k}

両辺の平方根をとる。正と負の2つが解。

例： $x^2=9 \Rightarrow x=\pm3$ 、 $x^2=5 \Rightarrow x=\pm\sqrt5$

✓理解チェック1

なぜ ± がつくの？（数直線）

2乗して $9$ になる数は、 $+3$ と $-3$ の2つ。数直線で見ると、0から同じ距離に2つあります。だから解は $\pm3$ 。

✕よくある間違い

$x^2=9$ の答えを $x=3$ だけにするのはまちがい。負のほう $x=-3$ も解です。「2乗＝数」を平方根で解くときは、必ず ±。

セナ

$x^2=5$ みたいにきれいにならないときは？

ホクト先生

そのまま $x=\pm\sqrt5$ でOK。むしろ因数分解では解けないこういう形こそ、平方根の出番だよ。

✓理解チェック2

✓理解チェック3

(x+m)²＝k の解き方

かっこの2乗＝数の形も同じ。かっこ全体の平方根をとります。

(x+1)^2=4 \;\Rightarrow\; x+1=\pm2 \;\Rightarrow\; x=-1\pm2 \;\Rightarrow\; x=1,\ -3

$x+1=+2$ から $x=1$ 、 $x+1=-2$ から $x=-3$ 。±から2つの解が出ます。

✓理解チェック4

✓理解チェック5

√の中は簡単にする

解に√が出たら、できるだけ簡単な形にします。

x^2=12 \;\Rightarrow\; x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3

✓コツ

「2乗＝数」「（かっこ）2乗＝数」の形を見たら平方根で一発。因数分解しにくい問題でも、この形に変形できれば解けます。じつはどんな二次方程式もこの形に変形できて、それをやり切ると解の公式そのものが出てきます（平方完成）。

✓理解チェック6

やってみよう（練習問題）

やってみよう①（基本：x²＝k）

両辺の平方根をとって解きましょう。±を忘れずに。

$x^2=25$
$x^2=7$

答えと解説を見る

$x=\pm\sqrt{25}=\pm5$ （確かめ： $5^2=25$ ◎、 $(-5)^2=25$ ◎）
$x=\pm\sqrt7$ （確かめ： $(\sqrt7)^2=7$ ◎、 $(-\sqrt7)^2=7$ ◎）

やってみよう②（標準：(x+m)²＝k・√の整理）

かっこ全体の平方根をとる、√の中を簡単にする、の2つを練習しましょう。

$(x+3)^2=16$
$x^2=18$

答えと解説を見る

$x+3=\pm4$ → $x=-3\pm4$ → $x=1,\ -7$ （確かめ： $(1+3)^2=4^2=16$ ◎、 $(-7+3)^2=(-4)^2=16$ ◎）
$x=\pm\sqrt{18}=\pm3\sqrt2$ （確かめ： $(3\sqrt2)^2=9\times2=18$ ◎、 $(-3\sqrt2)^2=18$ ◎）

やってみよう③（応用：面積・落下の文章題）

身のまわりの場面を、平方根で解きましょう。長さや時間は0以上なので、答えは正のほうだけを選びます。

面積が $50\ \text{m}^2$ の正方形の花だんがあります。1辺の長さを求めなさい。
高い所から物を落とすと、 $t$ 秒後までに落ちる距離 $h$ （m）は、およそ $h=5t^2$ で表せます。 $45\ \text{m}$ 落ちるのにかかる時間 $t$ 秒を求めなさい。

答えと解説を見る

1辺を $x\ \text{m}$ とおくと $x^2=50$ → $x=\pm\sqrt{50}=\pm5\sqrt2$ 。長さは正なので $x=5\sqrt2\ \text{m}$ （約7.07m）。（確かめ： $(5\sqrt2)^2=25\times2=50$ ◎。負の長さはないので $-5\sqrt2$ は除く）
$45=5t^2$ → $t^2=9$ → $t=\pm3$ 。時間は正なので $t=3$ 秒。（確かめ： $5\times3^2=5\times9=45$ ◎。 $t=-3$ は時間としてありえないので除く）

💡これ、社会のどこで役立つの？

「2乗＝数」を平方根で逆にたどる計算は、長さ・距離・時間を求める場面でそのまま使われます。

設計・建築：決まった面積の部屋や土地から、正方形の1辺の長さを求める（ $1\text{辺}=\sqrt{\text{面積}}$ ）。タイルや畳の枚数の見積もりにも。
物理・落下：高い所から落ちる物が地面に届くまでの時間や速さを、 $h=5t^2$ のような関係から逆算する。安全な高さの検討にも使われる。
画面・デザイン：「縦横の比を保ったまま面積を◯倍にしたい」とき、辺は√倍になる。画像や用紙サイズ（A判・B判）の拡大縮小の考え方とつながる。

平方根で解く力は、高校で学ぶ平方完成や三平方の定理、放物運動の計算へとまっすぐつながっていきます。

家おうちの方へ

ここでの最重要ポイントは「±を忘れない」こと。数直線で「0から同じ距離に2つ」を見せると、なぜ解が2つかが直感的にわかります。 $(x+m)^2=k$ は「かっこを1つのかたまり」と見て平方根をとる、と教えると混乱しません。

因数分解でも平方根でも解きにくい問題は、最後の切り札解の公式で必ず解けます。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

$x^2=k$ （ $k\ge0$ ）→ $x=\pm\sqrt{k}$ （±を忘れない）。
$(x+m)^2=k$ → $x+m=\pm\sqrt{k}$ → $x=-m\pm\sqrt{k}$ 。
√の中はできるだけ簡単に（ $\sqrt{12}=2\sqrt3$ ）。
因数分解しにくい「2乗＝数」の形に強い。

よくある質問

x²＝k の形の二次方程式はどうやって解きますか？

両辺の平方根をとって、x＝±√k と解きます（kは0以上）。たとえば x²＝9 なら x＝±3、x²＝5 なら x＝±√5 です。正と負の2つが解になるので、±を忘れないのがいちばんのポイントです。

なぜ x²＝9 の解には±がつくの？

2乗して9になる数は、＋3と−3の2つあるからです（(−3)²＝9）。数直線で見ると、0から同じ距離のところに2つの数が並んでいます。x＝3だけを答えにするのはよくある間違いです。

(x＋m)²＝k の形はどうやって解きますか？

かっこ全体を1つのかたまりと見て、平方根をとります。たとえば (x＋1)²＝4 なら、x＋1＝±2 → x＝−1±2 で、x＝1 と x＝−3 の2つが解です。解に√が出たら、√12＝2√3 のようにできるだけ簡単な形に直します。

文章題では、±の2つの解を両方答えますか？

長さや時間を求める問題では、正のほうだけを答えます。たとえば面積50平方メートルの正方形の1辺は、x²＝50 → x＝±5√2 ですが、長さは0以上なので 5√2メートル（約7.07メートル）だけが答えです。負の解は場面に合わないので除きます。

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#二次方程式#平方根#中3数学