二次方程式の解の公式

Q: 二次方程式の解の公式とは何ですか？

axの2乗＋bx＋c＝0 の解を求める公式で、x＝（−b±√(b²−4ac)）÷2a（分母は2a全体）です。因数分解できない二次方程式でも、a・b・cを代入すれば必ず解けます。たとえば x²＋3x＋1＝0 なら a＝1、b＝3、c＝1 で、x＝（−3±√5）÷2 となります。

Q: なぜ、a・b・cを符号つきで書き出してから代入するの？

解の公式は符号のミスがいちばん起きやすいからです。−bは、bが−3なら＋3になりますし、√の中の−4acは、cが負なら＋に変わります。先に a＝1、b＝−3、c＝−1 のように符号ごとメモしてから公式に入れると、こうした取りちがえが激減します。

Q: 因数分解と解の公式は、どう使い分ければいいですか？

まず因数分解を試して、できなければ解の公式、という順番が基本です。かけて定数・たして真ん中になる2数がすぐ見つかれば因数分解が速く、見つからない・複雑なときは解の公式なら必ず解けます。「2乗＝数」の形なら平方根を使うのが最速です。迷ったら解の公式でOKです。

Q: 解の公式の分母は、aですか？2aですか？

分母は2a全体です。たとえば x²＋3x＋1＝0（a＝1）なら分母は2、2x²＋3x−1＝0（a＝2）なら分母は4になります。分母をaにしてしまうミスがとても多いので注意しましょう。最後に√を簡単にして、約分できるかも確認します。

中3数学「二次方程式の解の公式」を図でやさしく解説。ax²＋bx＋c＝0の形からa・b・cを符号ごと読み取って公式に当てはめる手順と、分母は2a全体・√の中の符号といったミスが起きやすい点を図で整理し、因数分解との使い分けもふくめてどんな二次方程式でも解けるようになります。

先に答え

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ です。 $x^2+3x+1=0$ なら $a=1,\ b=3,\ c=1$ で $x=\dfrac{-3\pm\sqrt5}{2}$ 、 $2x^2+3x-1=0$ なら $a=2,\ b=3,\ c=-1$ で $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$ になります。分母は $a$ ではなく $2a$ 全体で、 $a,\ b,\ c$ を符号つきで書き出してから代入すると符号ミスが減ります。

◎このページのゴール

解の公式を使って、どんな二次方程式でも解けるようになる。

因数分解できない二次方程式も、解の公式を使えば必ず解けます。最強の切り札。ただし $a,b,c$ の読み取りと符号でミスが出やすいので、図で正確に押さえましょう。

考えるセナちゃんどこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

解の公式の形を知りたい → ここを見る
なぜこの公式になるのか知りたい → ここを見る
a・b・c の読み取り方が不安 → ここを見る
符号や分母でミスする → ここを見る
因数分解と公式の使い分け → ここを見る

解の公式

→やり方

$ax^2+bx+c=0$ のとき、

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

✓理解チェック1

なぜこの公式になるの？

セナ

いきなり出てきたけど、この長い式ってどこから来たの？

覚えるしかないの？

ホクト先生

天才のひらめきじゃないよ。

前にやった「 $(x+m)^2=k$ の形にして平方根をとる」を、数字のかわりに $a,b,c$ のまま最後までやり切っただけなんだ。

まず数で1回やってみよう。

ステップ1：まず数で試す

$x^2+6x+4=0$ を、因数分解を使わずに解いてみます。

定数を右へ移す： $x^2+6x=-4$
$x$ の係数 $6$ を半分にして2乗する： $\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=9$
その $9$ を両辺にたす： $x^2+6x+9=-4+9$
左辺が $(x+3)^2$ にまとまる： $(x+3)^2=5$
平方根をとる： $x+3=\pm\sqrt{5}$
答え： $x=-3\pm\sqrt{5}$

ステップ2：なぜ「半分の2乗」をたすと正方形になるの？

ここが公式のいちばんの正体です。面積の図で見ると一目でわかります。

$x^2$ （1辺 $x$ の正方形）に、 $6x$ を半分ずつに分けた $3x$ の長方形を右と下にくっつけます。

すると右下に $3\times3=9$ のすきまができます。

このすきまを埋めれば、ちょうど1辺が $x+3$ の大きな正方形。

だから $x^2+6x+9=(x+3)^2$ になります。これを平方完成といいます。

「半分にして2乗」は、 $6x$ を2つに分けて正方形の角を埋めるための計算だったわけです。

ステップ3：同じことを a・b・c でやる

手順はステップ1とまったく同じです。数字を文字に置きかえるだけ。

?どうして？

$ax^2+bx+c=0$ （ $a\neq0$ ）から出発します。

① 両辺を $a$ でわる（ $x^2$ の係数を1にする）

x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0

② 定数を右へ移す

x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}

③ $x$ の係数 $\dfrac{b}{a}$ を半分にして2乗し、両辺にたす

半分は $\dfrac{b}{2a}$ 、2乗すると $\dfrac{b^2}{4a^2}$ 。

x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=-\dfrac{c}{a}+\dfrac{b^2}{4a^2}

④ 左辺を平方完成し、右辺を通分する

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

⑤ 平方根をとる

x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

⑥ $\dfrac{b}{2a}$ を右へ移して、分母をそろえる

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

解の公式が出ました。

公式のどこがどこから来たのか

これが分かると、公式のあいまいな部分を自分で直せます。

分母の $2a$ … ③で係数を半分にしたときの $2$ と、①で割った $a$ の名残。
$\sqrt{\ }$ の中の $b^2-4ac$ … ④で右辺を通分してまとめた結果。 $-\dfrac{c}{a}$ の分母を $4a^2$ にそろえると $-4ac$ が現れる。
$\pm$ … ⑤で平方根をとったから。2乗して同じ数になるものは正と負の2つある。

セナ

$-4ac$ の $4$ がどこから来るのか、ずっと謎だったんだけど、通分だったんだね。

ホクト先生

そう。公式を忘れても、この6ステップをたどれば自分で作り直せる。

テスト直前に不安になったら、 $x^2+6x+4=0$ のような簡単な数で1回やってみるといいよ。手が思い出してくれる。

✓理解チェック2

✓理解チェック3

まず a・b・c を読み取る

公式に入れる前に、 $x^2$ の係数 $a$ 、 $x$ の係数 $b$ 、定数 $c$ を符号ごと正確に読み取ります。

$x^2+3x+1=0$ なら $a=1,\ b=3,\ c=1$ 。公式に入れて、

x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times1\times1}}{2\times1}=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}

セナ

√の中（ $b^2-4ac$ ）の計算がこわい…

ホクト先生

そこは1つずつ。 $b^2$ を出して、 $4ac$ を引く。符号を間違えないよう、 $a,b,c$ を先に書き出してから代入するのがコツだよ。

✓理解チェック4

よくあるミス

✕よくある間違い

分母を $2a$ ではなく $a$ にしてしまう → 分母は $2a$ 全体。
$-b$ の符号ミス（ $b=-3$ なら $-b=+3$ ）。
$b^2-4ac$ の $-4ac$ の符号ミス（ $c$ が負なら $-4ac$ は＋になる）。

$a,b,c$ を符号つきで書き出してから代入すると、これらのミスが激減します。

✓理解チェック5

✓理解チェック6

因数分解と公式の使い分け

✓コツ

まず因数分解を試す（速い）。 $x^2+5x+6$ のように2数が見つかればこちら。
見つからない・複雑なら解の公式（必ず解ける）。
「2乗＝数」「（かっこ）2乗＝数」の形なら平方根が速い。

迷ったら解の公式でOK。どんな二次方程式でも解けます。

✓理解チェック7

やってみよう（練習問題）

やってみよう①（基本：a＝1の式で公式に慣れる）

$a,\ b,\ c$ を符号つきで書き出してから、解の公式に代入しましょう。

$x^2+5x+2=0$
$x^2-3x-1=0$

答えと解説を見る

$a=1,\ b=5,\ c=2$ 。 $b^2-4ac=25-8=17$ 、分母 $2a=2$ → $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{17}}{2}$
$a=1,\ b=-3,\ c=-1$ 。 $-b=3$ 、 $b^2-4ac=9-4\times1\times(-1)=9+4=13$ → $x=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}{2}$ （ $c$ が負だと $-4ac$ は＋になる点に注意）

やってみよう②（標準：a≠1・√の整理と約分）

$a$ が1でない式、√を簡単にして約分する式を練習しましょう。

$2x^2+3x-1=0$
$x^2-2x-2=0$

答えと解説を見る

$a=2,\ b=3,\ c=-1$ 。 $b^2-4ac=9-4\times2\times(-1)=9+8=17$ 、分母 $2a=4$ → $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$
$a=1,\ b=-2,\ c=-2$ 。 $-b=2$ 、 $b^2-4ac=4-4\times1\times(-2)=4+8=12$ → $x=\dfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\pm2\sqrt3}{2}=1\pm\sqrt3$ （ $\sqrt{12}=2\sqrt3$ にして約分）

やってみよう③（応用：売上から価格を決める文章題）

解の公式で解いて、最後は元の式に代入して2つの解の両方を確かめましょう。

ある商品は、1個 $x$ 円で売ると 1日に $(100-x)$ 個売れます（ $0<x<100$ ）。売上を $2400$ 円にするには、価格を何円にすればよいですか。

答えと解説を見る

売上は $\text{価格}\times\text{個数}=x(100-x)$ 。これを $2400$ にするので $x(100-x)=2400$ → $100x-x^2=2400$ → 整理して $x^2-100x+2400=0$ 。 $a=1,\ b=-100,\ c=2400$ より $b^2-4ac=10000-9600=400$ 、 $\sqrt{400}=20$ だから $x=\dfrac{100\pm20}{2}=60$ または $40$ 。1個 $40$ 円、または $60$ 円。（確かめ： $x=40$ なら $40\times(100-40)=40\times60=2400$ ◎、 $x=60$ なら $60\times(100-60)=60\times40=2400$ ◎。安い価格でたくさん売っても、高い価格で少なく売っても、同じ売上になります）

💡これ、社会のどこで役立つの？

解の公式は「どんな二次方程式でも必ず解ける」道具。世の中で山なり（放物線）になるものを扱うとき、いつも登場します。

物理・スポーツ：ボールやロケットの軌道、打ち上げ花火の高さは時間の2次式になる。「いつ地面に届くか」「何秒で目標の高さに達するか」を解の公式で求める。
ビジネス・価格設定：価格を上げると売れる個数は減る。売上＝価格×個数は2次式になり、「目標の売上にするための価格」や「売上が最大になる価格」を二次方程式・二次関数で求める。
設計・最適化：材料の量が決まった中で面積や容積を最大にする寸法など、「ちょうどよい1点」を求める計算に使われる。

解の公式と判別式（ $b^2-4ac$ ）の考え方は、高校の二次関数・グラフとx軸の交点・最大最小の問題へ、ほぼそのままつながります。

i🎓 高校ではこう発展する

解の公式の $\sqrt{\ }$ の中にある $b^2-4ac$ は、高校で 判別式 $D$ と呼ばれ、「解がいくつあるか（実数解の個数）」を判定する道具になります（ $D>0$ で2つ、 $D=0$ で1つ、 $D<0$ で0個）。そして公式の導き方で使った 平方完成 は、高校では方程式を解くためだけでなく 二次関数のグラフの頂点・最大最小 を求める主役になります。いま練習した「 $a,\ b,\ c$ を符号つきで読み取る」力と平方完成が、そのまま高校数学Ⅰ「二次関数」の土台です。

家おうちの方へ

解の公式は「 $a,b,c$ を符号つきで書き出してから代入」を徹底すると、符号ミスが大きく減ります。分母が $2a$ 全体であること、√の中の $-4ac$ の符号（ $c$ が負なら＋）が要注意ポイント。最後に√を簡単にし、約分できるか確認する習慣もつけましょう。

これで中3「二次方程式」は完全攻略です！因数分解・平方根・解の公式の3つを、問題に応じて使い分けられれば、入試の計算は怖くありません。

📌 1分まとめ（声に出して読もう）

$ax^2+bx+c=0$ の解は $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 。
まず $a,\ b,\ c$ を符号ごと正しく読み取る。
分母は $2a$ 全体。±と√の中（ $b^2-4ac$ ）に注意。
まず因数分解→ダメなら解の公式の順で。

よくある質問

二次方程式の解の公式とは何ですか？

axの2乗＋bx＋c＝0 の解を求める公式で、x＝（−b±√(b²−4ac)）÷2a（分母は2a全体）です。因数分解できない二次方程式でも、a・b・cを代入すれば必ず解けます。たとえば x²＋3x＋1＝0 なら a＝1、b＝3、c＝1 で、x＝（−3±√5）÷2 となります。

なぜ、a・b・cを符号つきで書き出してから代入するの？

解の公式は符号のミスがいちばん起きやすいからです。−bは、bが−3なら＋3になりますし、√の中の−4acは、cが負なら＋に変わります。先に a＝1、b＝−3、c＝−1 のように符号ごとメモしてから公式に入れると、こうした取りちがえが激減します。

因数分解と解の公式は、どう使い分ければいいですか？

まず因数分解を試して、できなければ解の公式、という順番が基本です。かけて定数・たして真ん中になる2数がすぐ見つかれば因数分解が速く、見つからない・複雑なときは解の公式なら必ず解けます。「2乗＝数」の形なら平方根を使うのが最速です。迷ったら解の公式でOKです。

解の公式の分母は、aですか？2aですか？

分母は2a全体です。たとえば x²＋3x＋1＝0（a＝1）なら分母は2、2x²＋3x−1＝0（a＝2）なら分母は4になります。分母をaにしてしまうミスがとても多いので注意しましょう。最後に√を簡単にして、約分できるかも確認します。

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