二次方程式の解の公式

Q: 二次方程式の解の公式とは何ですか？

axの2乗＋bx＋c＝0 の解を求める公式で、x＝（−b±√(b²−4ac)）÷2a（分母は2a全体）です。因数分解できない二次方程式でも、a・b・cを代入すれば必ず解けます。たとえば x²＋3x＋1＝0 なら a＝1、b＝3、c＝1 で、x＝（−3±√5）÷2 となります。

Q: なぜ、a・b・cを符号つきで書き出してから代入するの？

解の公式は符号のミスがいちばん起きやすいからです。−bは、bが−3なら＋3になりますし、√の中の−4acは、cが負なら＋に変わります。先に a＝1、b＝−3、c＝−1 のように符号ごとメモしてから公式に入れると、こうした取りちがえが激減します。

Q: 因数分解と解の公式は、どう使い分ければいいですか？

まず因数分解を試して、できなければ解の公式、という順番が基本です。かけて定数・たして真ん中になる2数がすぐ見つかれば因数分解が速く、見つからない・複雑なときは解の公式なら必ず解けます。「2乗＝数」の形なら平方根を使うのが最速です。迷ったら解の公式でOKです。

Q: 解の公式の分母は、aですか？2aですか？

分母は2a全体です。たとえば x²＋3x＋1＝0（a＝1）なら分母は2、2x²＋3x−1＝0（a＝2）なら分母は4になります。分母をaにしてしまうミスがとても多いので注意しましょう。最後に√を簡単にして、約分できるかも確認します。

二次方程式の解の公式を、a・b・cの読み取り方とセットでわかりやすく。符号のミスを防ぐ図、因数分解と公式の使い分けまで、入試で使える形で解説します。

◎このページのゴール

解の公式を使って、どんな二次方程式でも解けるようになる。

因数分解できない二次方程式も、解の公式を使えば必ず解けます。最強の切り札。ただし $a,b,c$ の読み取りと符号でミスが出やすいので、図で正確に押さえましょう。

どこでつまずいた？

あてはまるものをタップ。そこから読むと近道です。

解の公式の形を知りたい → ここを見る
a・b・c の読み取り方が不安 → ここを見る
符号や分母でミスする → ここを見る
因数分解と公式の使い分け → ここを見る

解の公式

→やり方

$ax^2+bx+c=0$ のとき、

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

まず a・b・c を読み取る

公式に入れる前に、 $x^2$ の係数 $a$ 、 $x$ の係数 $b$ 、定数 $c$ を符号ごと正確に読み取ります。

$x^2+3x+1=0$ なら $a=1,\ b=3,\ c=1$ 。公式に入れて、

$x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times1\times1}}{2\times1}=\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$

セナ

√の中（ $b^2-4ac$ ）の計算がこわい…

ホクト先生

そこは1つずつ。 $b^2$ を出して、 $4ac$ を引く。符号を間違えないよう、 $a,b,c$ を先に書き出してから代入するのがコツだよ。

✓理解チェック①

よくあるミス

✕よくある間違い

分母を $2a$ ではなく $a$ にしてしまう → 分母は $2a$ 全体。
$-b$ の符号ミス（ $b=-3$ なら $-b=+3$ ）。
$b^2-4ac$ の $-4ac$ の符号ミス（ $c$ が負なら $-4ac$ は＋になる）。

$a,b,c$ を符号つきで書き出してから代入すると、これらのミスが激減します。

✓理解チェック②

因数分解と公式の使い分け

✓コツ

まず因数分解を試す（速い）。 $x^2+5x+6$ のように2数が見つかればこちら。
見つからない・複雑なら解の公式（必ず解ける）。
「2乗＝数」「（かっこ）2乗＝数」の形なら平方根が速い。

迷ったら解の公式でOK。どんな二次方程式でも解けます。

やってみよう（練習問題）

✏️ やってみよう①（基本：a＝1の式で公式に慣れる）

$a,\ b,\ c$ を符号つきで書き出してから、解の公式に代入しましょう。

$x^2+5x+2=0$
$x^2-3x-1=0$

答えと解説を見る

$a=1,\ b=5,\ c=2$ 。 $b^2-4ac=25-8=17$ 、分母 $2a=2$ → $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{17}}{2}$
$a=1,\ b=-3,\ c=-1$ 。 $-b=3$ 、 $b^2-4ac=9-4\times1\times(-1)=9+4=13$ → $x=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}{2}$ （ $c$ が負だと $-4ac$ は＋になる点に注意）

✏️ やってみよう②（標準：a≠1・√の整理と約分）

$a$ が1でない式、√を簡単にして約分する式を練習しましょう。

$2x^2+3x-1=0$
$x^2-2x-2=0$

答えと解説を見る

$a=2,\ b=3,\ c=-1$ 。 $b^2-4ac=9-4\times2\times(-1)=9+8=17$ 、分母 $2a=4$ → $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$
$a=1,\ b=-2,\ c=-2$ 。 $-b=2$ 、 $b^2-4ac=4-4\times1\times(-2)=4+8=12$ → $x=\dfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\pm2\sqrt3}{2}=1\pm\sqrt3$ （ $\sqrt{12}=2\sqrt3$ にして約分）

✏️ やってみよう③（応用：売上から価格を決める文章題）

解の公式で解いて、最後は元の式に代入して2つの解の両方を確かめましょう。

ある商品は、1個 $x$ 円で売ると 1日に $(100-x)$ 個売れます（ $0<x<100$ ）。売上を $2400$ 円にするには、価格を何円にすればよいですか。

答えと解説を見る

売上は $\text{価格}\times\text{個数}=x(100-x)$ 。これを $2400$ にするので $x(100-x)=2400$ → $100x-x^2=2400$ → 整理して $x^2-100x+2400=0$ 。 $a=1,\ b=-100,\ c=2400$ より $b^2-4ac=10000-9600=400$ 、 $\sqrt{400}=20$ だから $x=\dfrac{100\pm20}{2}=60$ または $40$ 。1個 $40$ 円、または $60$ 円。（確かめ： $x=40$ なら $40\times(100-40)=40\times60=2400$ ◎、 $x=60$ なら $60\times(100-60)=60\times40=2400$ ◎。安い価格でたくさん売っても、高い価格で少なく売っても、同じ売上になります）

💡これ、社会のどこで役立つの？

解の公式は「どんな二次方程式でも必ず解ける」道具。世の中で山なり（放物線）になるものを扱うとき、いつも登場します。

物理・スポーツ：ボールやロケットの軌道、打ち上げ花火の高さは時間の2次式になる。「いつ地面に届くか」「何秒で目標の高さに達するか」を解の公式で求める。
ビジネス・価格設定：価格を上げると売れる個数は減る。売上＝価格×個数は2次式になり、「目標の売上にするための価格」や「売上が最大になる価格」を二次方程式・二次関数で求める。
設計・最適化：材料の量が決まった中で面積や容積を最大にする寸法など、「ちょうどよい1点」を求める計算に使われる。

解の公式と判別式（ $b^2-4ac$ ）の考え方は、高校の二次関数・グラフとx軸の交点・最大最小の問題へ、ほぼそのままつながります。

i🎓 高校ではこう発展する

解の公式の $\sqrt{\ }$ の中にある $b^2-4ac$ は、高校で 判別式 $D$ と呼ばれ、「解がいくつあるか（実数解の個数）」を判定する道具になります（ $D>0$ で2つ、 $D=0$ で1つ、 $D<0$ で0個）。さらに $ax^2+bx+c$ を 平方完成 すると、二次関数のグラフの頂点・最大最小 が求められるようになります。いま練習した「 $a,\ b,\ c$ を符号つきで読み取る」力が、そのまま高校数学Ⅰ「二次関数」の土台です。

家おうちの方へ

解の公式は「 $a,b,c$ を符号つきで書き出してから代入」を徹底すると、符号ミスが大きく減ります。分母が $2a$ 全体であること、√の中の $-4ac$ の符号（ $c$ が負なら＋）が要注意ポイント。最後に√を簡単にし、約分できるか確認する習慣もつけましょう。

これで中3「二次方程式」は完全攻略です！因数分解・平方根・解の公式の3つを、問題に応じて使い分けられれば、入試の計算は怖くありません。

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📌 1分まとめ（声に出して読もう）

$ax^2+bx+c=0$ の解は $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 。
まず $a,\ b,\ c$ を符号ごと正しく読み取る。
分母は $2a$ 全体。±と√の中（ $b^2-4ac$ ）に注意。
まず因数分解→ダメなら解の公式の順で。

よくある質問

二次方程式の解の公式とは何ですか？

axの2乗＋bx＋c＝0 の解を求める公式で、x＝（−b±√(b²−4ac)）÷2a（分母は2a全体）です。因数分解できない二次方程式でも、a・b・cを代入すれば必ず解けます。たとえば x²＋3x＋1＝0 なら a＝1、b＝3、c＝1 で、x＝（−3±√5）÷2 となります。

なぜ、a・b・cを符号つきで書き出してから代入するの？

解の公式は符号のミスがいちばん起きやすいからです。−bは、bが−3なら＋3になりますし、√の中の−4acは、cが負なら＋に変わります。先に a＝1、b＝−3、c＝−1 のように符号ごとメモしてから公式に入れると、こうした取りちがえが激減します。

因数分解と解の公式は、どう使い分ければいいですか？

まず因数分解を試して、できなければ解の公式、という順番が基本です。かけて定数・たして真ん中になる2数がすぐ見つかれば因数分解が速く、見つからない・複雑なときは解の公式なら必ず解けます。「2乗＝数」の形なら平方根を使うのが最速です。迷ったら解の公式でOKです。

解の公式の分母は、aですか？2aですか？

分母は2a全体です。たとえば x²＋3x＋1＝0（a＝1）なら分母は2、2x²＋3x−1＝0（a＝2）なら分母は4になります。分母をaにしてしまうミスがとても多いので注意しましょう。最後に√を簡単にして、約分できるかも確認します。

#二次方程式#解の公式#中3数学