ひし形の面積（対角線×対角線÷2）｜なぜ辺の長さを使わないの？

ひし形の面積は「対角線×対角線÷2」で求めます。小5算数のこの単元では、ひし形のまわりにぴったりの長方形をかくと、ひし形がその半分になる図で公式の理由を理解します。辺×辺と計算してしまうまちがいの防ぎ方、対角線がわかっている正方形への応用まで練習できます。

ひし形の面積は 対角線×対角線÷2。これまでの「底辺×高さ」と見た目がちがいますが、正体はまわりの長方形の半分。図で見れば、なぜ辺の長さを使わないのかもスッキリわかります。

公式：対角線×対角線÷2

例：対角線が6cmと8cmのひし形 → $6\times8\div2=24$ → 24cm²。

なぜ？（まわりの長方形のちょうど半分）

ひし形のまわりに、対角線をたて・よこの長さとする長方形をぴったりかいてみます。

点線で分けると、内側には同じ直角三角形が4つ、外側にも同じ直角三角形が4つできます。つまり、ひし形の面積と外側の面積は同じです。だから、ひし形は長方形のちょうど半分になります。

• 長方形の面積 ＝ たて×よこ ＝ 対角線×対角線
• ひし形は、そのちょうど半分

$\text{ひし形の面積}=\text{対角線}\times\text{対角線}\div2$

セナ

また「半分」だ！ 三角形は平行四辺形の半分、ひし形は長方形の半分…。

ホクト先生

いいところに気づいたね。「知っている形（四角形）を作って、半分にする」——この単元の公式は、ぜんぶこの1つの作戦でできているんだ。公式を忘れても、図をかけば自分で作り直せるよ。

「辺×辺」はまちがい

理由は、同じ辺の長さでも、つぶれ具合で面積が変わるから。1辺5cmのひし形を、正方形に近い形からペチャンコにつぶしていくと、辺の長さは5cmのまま面積はどんどん小さくなります。辺の長さだけでは広さは決まらないのです。

正方形にも使える（対角線がわかっているとき）

この公式は、対角線が垂直に交わる四角形なら使えます。代表が正方形。

例：対角線が10cmの正方形 → $10\times10\div2=50$ → 50cm²。

1辺の長さがわからなくても面積が出せる——テストでよく出る、かしこい使い方です。

やってみよう（練習問題）

最後は総仕上げ、底辺と高さの見つけ方。「高さが三角形の外に出る」少し難しい形も、これでこわくなくなります。